ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 77

Задание №3659

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 49, периметр P= 209 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=55,5

Ответ: 55,5

Задание №5090

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 15, BC=3, CD=23. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=15+23-3=35

Ответ: 35

Задание №2050

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=80+20=100

Ответ: 100

Задание №3635

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 94+47√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=47

Ответ: 47

Задание №3555

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 360 и 60. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=250

Ответ: 250

Задание №4637

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 14 и 20 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 34 / 2 = 17

Ответ: 17

Задание №5566

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 240. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =240 / 6 = 40

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*40=80

Ответ: 80

Задание №4931

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 25, основание равно 30 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=300

Подствавим значения и найдём полупериметр P=40

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=300/40=7,5

Ответ: 7,5

Задание №5207

В треугольнике ABC AC=20, BC=21, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №4191

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №1709

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 127. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=95,25

Ответ: 95,25

Задание №4221

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,25

Ответ: 34,25

Задание №2199

Площадь треугольника АВС равна 127. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=95,25

Ответ: 95,25

Задание №1962

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 94, большая боковая сторона трапеции равна 40 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,5

Ответ: 3,5

Задание №5546

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 46, AB= 57 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 206

Ответ: 206

Задание №2280

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 103. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 103 / 4 = 25,75

Ответ: 25,75

Задание №2036

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 34° и 111°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов

угол противоположный углу 111 градусов равен 180-111=69 градусов

Больший из неизвестных углов 146 градусов

Ответ: 146

Задание №4083

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=15

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+15=35

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 35

Задание №3695

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 52, 78. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+52+78=151

Ответ: 151

Задание №3473

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5

Ответ: 68,5

содержание .. 75 76 77 78 ..