ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 76

Задание №4631

Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75

Ответ: 32,75

Задание №3101

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 15 и 27 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 42 / 2 = 21

Ответ: 21

Задание №2034

Площадь треугольника АВС равна 123. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=92,25

Ответ: 92,25

Задание №4075

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 20° и 127°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 20 градусов равен 180-20=160 градусов

угол противоположный углу 127 градусов равен 180-127=53 градусов

Больший из неизвестных углов 160 градусов

Ответ: 160

Задание №1946

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 65, основание равно 78 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2028

Подствавим значения и найдём полупериметр P=104

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2028/104=19,5

Ответ: 19,5

Задание №3424

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 12, BC=4, CD=30. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=12+30-4=38

Ответ: 38

Задание №1661

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №5333

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 14+7√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=7

Ответ: 7

Задание №1168

Основания равнобедренной трапеции равны 270 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=180

Ответ: 180

Задание №5619

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 166, стророна AB= 40 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=43

Ответ: 43

Задание №3759

В треугольнике ABC AC=60, BC=63, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=18

Ответ: 18

Задание №2826

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 258. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =258 / 6 = 43

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*43=86

Ответ: 86

Задание №1531

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102,75

Ответ: 102,75

Задание №1317

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 126, ее большая боковая сторона равна 59 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №3185

Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 56. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=28

HO=21

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 49

Задание №2072

Площадь параллелограмма ABCD равна 138. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=69

Ответ: 69

Задание №2099

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=68+14=82

Ответ: 82

Задание №2935

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 59, AB= 69 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 256

Ответ: 256

Задание №4406

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 45. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 45 / 4 = 11,25

Ответ: 11,25

Задание №4707

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 15, 35, 54. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=15+35+54=104

Ответ: 104

содержание .. 74 75 76 77 ..