ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 75

Задание №5830

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 324 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=225

Ответ: 225

Задание №3170

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 35, периметр P= 151 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=40,5

Ответ: 40,5

Задание №4373

Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=28

HO=21

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 49

Задание №3972

Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70

Ответ: 70

Задание №3881

Площадь параллелограмма ABCD равна 135. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=101,25

Ответ: 101,25

Задание №4495

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 125, большая боковая сторона трапеции равна 55 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,75

Ответ: 3,75

Задание №5562

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 95, основание равно 114 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4332

Подствавим значения и найдём полупериметр P=152

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=4332/152=28,5

Ответ: 28,5

Задание №2511

В треугольнике ABC BC=12, AC=9, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №2072

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 92. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 92 / 4 = 23

Ответ: 23

Задание №5252

Площадь треугольника АВС равна 122. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=91,5

Ответ: 91,5

Задание №3008

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 21° и 138°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 21 градусов равен 180-21=159 градусов

угол противоположный углу 138 градусов равен 180-138=42 градусов

Больший из неизвестных углов 159 градусов

Ответ: 159

Задание №4753

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 7 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=1

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+2=18

Ответ: 18

Задание №1817

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 45, 67. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=19+45+67=131

Ответ: 131

Задание №3787

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 7, BC=2, CD=17. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=7+17-2=22

Ответ: 22

Задание №3396

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 66+33√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=33

Ответ: 33

Задание №2044

Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32

Ответ: 32

Задание №5701

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 498. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*83=166

Ответ: 166

Задание №3480

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №5433

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 44 и 33 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 77 / 2 = 38,5

Ответ: 38,5

Задание №5275

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 61, AB= 71 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 264

Ответ: 264

содержание .. 73 74 75 76 ..