содержание .. 39 40 41 42 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 41
Задание №1971
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 69, большая боковая сторона равна 33 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 0,75 Ответ: 0,75
Задание №1509
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 15, основание равно 18 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=108 Подствавим значения и найдём полупериметр P=24 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=108/24=4,5
Ответ: 4,5
Задание №4607
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 300 и 60. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=200 Ответ: 200
Задание №5097
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 16+8√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=8 Ответ: 8
Задание №5991
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 39° и 133°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 39 градусов равен 180-39=141 градусов угол противоположный углу 133 градусов равен 180-133=47 градусов Больший из неизвестных углов 141 градусов Ответ: 141
Задание №1423
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 47, AB= 57 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 208 Ответ: 208
Задание №1956
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 240. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =240 / 6 = 40 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*40=80 Ответ: 80
Задание №3790
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 149. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=37,25 Ответ: 37,25
Задание №5339
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 35, BC=9, CD=72. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=35+72-9=98 Ответ: 98
Задание №5354
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 36 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=88+16=104 Ответ: 104
Задание №2925
Дан треугольник ABC. Стороны AC=28, BC=96, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=12 Ответ: 12
Задание №3423
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 36 и 42 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 78 / 2 = 39 Ответ: 39
Задание №2363
Площадь треугольника АВС равна 125. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75 Ответ: 93,75
Задание №2426
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 44, 57. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=17+44+57=118 Ответ: 118
Задание №4559
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 96 / 4 = 24 Ответ: 24
Задание №1848
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 67, периметр P= 275 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=70,5 Ответ: 70,5
Задание №1172
Площадь параллелограмма ABCD равна 127. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=95,25 Ответ: 95,25
Задание №3658
Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5 Ответ: 73,5
Задание №4134
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 18. Радиус описанной окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=9 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 21
Задание №5937
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
содержание .. 39 40 41 42 ..