ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 42

 

  Главная      Тесты по ЕГЭ     ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год)

 

поиск по сайту            

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  40  41  42  43   ..

 

 

ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 42

 

 

Задание №4965

 

 

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 56. Рассчитайте длину средней линии трапеции

 

Решение

 

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

 

Средняя линия MK = 56 / 4 = 14

Ответ: 14

 

 

Задание №1758

 

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

 

 

Решение

 

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

 

По найденной формуле вычисляем, что AD=30

Ответ: 30

 

 

 

Задание №3479

 

 

Периметр правильного шестиугольника равен 396. Рассчитайте диаметр описанной окружности

 

Решение

 

 

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =396 / 6 = 66

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*66=132

Ответ: 132

 

 

Задание №3033

 

 

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 8 и 21. Вычислите среднюю линию трапеции

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 29 / 2 = 14,5

Ответ: 14,5

 

 

Задание №4477

 

 

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 85, CD= 74 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 318

Ответ: 318

 

 

Задание №3936

 

 

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 66, большая боковая сторона трапеции равна 26 . Найдите радиус окружности

 

Решение

 

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

R = 3,5

Ответ: 3,5

 

 

Задание №1586

 

 

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 40, периметр P= 174 . Найдите длину стороны CD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=47

Ответ: 47

 

 

Задание №3466

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66

Ответ: 66

 

 

 

Задание №4624

 

 

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 36 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

 

Решение

 

 

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=100+28=128

Ответ: 128

 

 

 

Задание №5474

 

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Найдите число вершин многоугольника

 

Решение

 

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

 

 

Задание №2068

 

 

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 42, BC=11, CD=85. Найдите четвертую сторону четырехугольника

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=42+85-11=116

Ответ: 116

 

 

 

Задание №4987

 

 

В треугольнике ABC AC=15, BC=36, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

 

 

 

Задание №3079

 

 

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 50, 60. Вычислите периметр данного треугольника

 

Решение

 

 

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

 

=17+50+60=127

Ответ: 127

 

 

 

Задание №2532

 

 

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 37° и 81°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

 

Решение

 

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 37 градусов равен 180-37=143 градусов

угол противоположный углу 81 градусов равен 180-81=99 градусов

Больший из неизвестных углов 143 градусов

Ответ: 143

 

 

Задание №1940

 

 

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 140, основание равно 168 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

 

 

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408

Подствавим значения и найдём полупериметр P=224

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42

Ответ: 42

 

 

 

Задание №5060

 

Площадь треугольника АВС равна 131. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

 

Решение

 

 

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

 

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

 

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=98,25

Ответ: 98,25

 

 

 

Задание №2212

 

 

Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

 

Решение

 

Проведем высоту KH через центр окружности O

 

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

 

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=15

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 39

 

 

Задание №2455

 

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 144. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=108

Ответ: 108

 

 

 

Задание №5244

 

 

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 44+22√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=22

Ответ: 22

 

 

 

Задание №5283

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35

Ответ: 35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  40  41  42  43   ..