содержание .. 37 38 39 40 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 39
Задание №3405
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 22, BC=6, CD=50. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=22+50-6=66 Ответ: 66
Задание №4302
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 66+33√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=33 Ответ: 33
Задание №2478
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 40 и 29 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 69 / 2 = 34,5 Ответ: 34,5
Задание №3761
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 63, периметр P= 258 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=66 Ответ: 66
Задание №2332
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 13 и 2, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=2 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=30+4=34 Ответ: 34
Задание №4280
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 53, 63. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=18+53+63=134 Ответ: 134
Задание №3475
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 158. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=79 Ответ: 79
Задание №1917
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №4305
Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=110,25 Ответ: 110,25
Задание №3646
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 51. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 51 / 4 = 12,75 Ответ: 12,75
Задание №3586
Площадь параллелограмма ABCD равна 139. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,75 Ответ: 34,75
Задание №2422
Площадь треугольника АВС равна 149. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=111,75 Ответ: 111,75
Задание №1718
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 88, большая боковая сторона трапеции равна 38 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3 Ответ: 3
Задание №2959
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 360 и 60. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=250 Ответ: 250
Задание №1308
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 48° и 111°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 48 градусов равен 180-48=132 градусов угол противоположный углу 111 градусов равен 180-111=69 градусов Больший из неизвестных углов 132 градусов Ответ: 132
Задание №3378
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 108, AB= 114 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 444 Ответ: 444
Задание №3981
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 498. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*83=166 Ответ: 166
Задание №1555
В треугольнике ABC AC=24, BC=70, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=10 Ответ: 10
Задание №1080
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 55, основание равно 66 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452 Подствавим значения и найдём полупериметр P=88 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5
Ответ: 16,5
Задание №4367
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=15 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 39
содержание .. 37 38 39 40 ..