ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 38

Задание №1878

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 78, AB= 89 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 334

Ответ: 334

Задание №4469

Дан треугольник ABC. Стороны AC=3, BC=4, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=1

Ответ: 1

Задание №2059

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 26+13√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=13

Ответ: 13

Задание №4225

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 35, основание равно 42 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=588

Подствавим значения и найдём полупериметр P=56

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=588/56=10,5

Ответ: 10,5

Задание №5881

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 12, BC=4, CD=34. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=12+34-4=42

Ответ: 42

Задание №5202

Периметр правильного шестиугольника равен 426. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =426 / 6 = 71

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*71=142

Ответ: 142

Задание №4859

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 48 и 41 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 89 / 2 = 44,5

Ответ: 44,5

Задание №5891

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 339, стророна AB= 83 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=86,5

Ответ: 86,5

Задание №3956

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 145. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=108,75

Ответ: 108,75

Задание №2339

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 32 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=84+20=104

Ответ: 104

Задание №2206

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 51, 66. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=18+51+66=135

Ответ: 135

Задание №5100

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 124. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31

Ответ: 31

Задание №5464

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 14 и 30. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=20

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+20=44

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 44

Задание №5818

Площадь треугольника АВС равна 130. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5

Ответ: 97,5

Задание №3203

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 76. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 76 / 4 = 19

Ответ: 19

Задание №1690

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=5

Ответ: 5

Задание №3043

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 110, большая боковая сторона равна 50 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,5

Ответ: 2,5

Задание №2572

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №2185

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 150. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75

Ответ: 75

Задание №1610

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 29° и 136°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 29 градусов равен 180-29=151 градусов

угол противоположный углу 136 градусов равен 180-136=44 градусов

Больший из неизвестных углов 151 градусов

Ответ: 151

содержание .. 36 37 38 39 ..