содержание .. 35 36 37 38 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 37
Задание №5407
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 61, CD= 47 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 216 Ответ: 216
Задание №5233
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 12+6√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №3019
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 37, BC=11, CD=86. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=37+86-11=112 Ответ: 112
Задание №5909
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 168 и 42. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=105 Ответ: 105
Задание №3476
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 55, основание равно 66 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452 Подствавим значения и найдём полупериметр P=88 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5
Ответ: 16,5
Задание №1698
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 156°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №5617
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 38 и 31 . Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 69 / 2 = 34,5 Ответ: 34,5
Задание №2515
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 88°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 88 градусов равен 180-88=92 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №1801
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 146. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73 Ответ: 73
Задание №1258
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 127, большая боковая сторона трапеции равна 58 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,75 Ответ: 2,75
Задание №1053
Дан треугольник ABC. Стороны AC=9, BC=12, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=3 Ответ: 3
Задание №5570
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 119. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=89,25 Ответ: 89,25
Задание №4963
Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96,75 Ответ: 96,75
Задание №5484
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 51, 65. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=17+51+65=133 Ответ: 133
Задание №1107
Периметр правильного шестиугольника равен 432. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =432 / 6 = 72 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*72=144 Ответ: 144
Задание №5950
Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,5 Ответ: 33,5
Задание №5947
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 291, стророна AB= 68 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=77,5 Ответ: 77,5
Задание №4222
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 99. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 99 / 4 = 24,75 Ответ: 24,75
Задание №2989
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 60. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=30 HO=16 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 46
Задание №3315
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=76+16=92 Ответ: 92
содержание .. 35 36 37 38 ..