Physics For Scientists And Engineers 6E - part 318

Substituting this expression for dp/dt and dx ! u dt into Equation 39.21 gives

where  we  use  the  limits  0  and  u in  the  integral  because  the  integration  variable  has
been changed from t to u. We assume that the particle is accelerated from rest to some
final speed u. Evaluating the integral, we find that

(39.22)

Recall from Chapter 7 that the work done by a force acting on a system consisting of a
single particle equals the change in kinetic energy of the particle. Because we assumed
that  the  initial  speed  of  the  particle  is  zero,  we  know  that  its  initial  kinetic  energy  is
zero.  We  therefore  conclude  that  the  work  W in  Equation  39.22  is  equivalent  to  the
relativistic kinetic energy K:

(39.23)

This  equation  is  routinely  confirmed  by  experiments  using  high-energy  particle
accelerators.

At  low  speeds,  where  u/c (( 1,  Equation  39.23  should  reduce  to  the  classical

expression K ! mu

2

. We can check this by using the binomial expansion (1 # 1

2

)

#

1/2 

%

1 & 1

2

& 0 0 0

for 1 (( 1, where the higher-order powers of 1 are neglected in the 

expansion. (In treatments of relativity, 1 is a common symbol used to represent u/c or
v/c.) In our case, 1 ! u/c, so that

Substituting this into Equation 39.23 gives

which is the classical expression for kinetic energy. A graph comparing the relativistic
and  nonrelativistic  expressions  is  given  in  Figure  39.18.  In  the  relativistic  case,  the
particle speed never exceeds c, regardless of the kinetic energy. The two curves are in
good agreement when u (( c.

K

%

!

"

1 &

1

2

 

u

2

c

 

2

#

#

1

$

 mc

 

2

!

1

2

 mu

2

   

(for u/c  (( 1)

* !

1

√

1 #

u

2

c

 

2

!

"

1 #

u

2

c

 

2

#

#

1/2

% 1 &

1

2

 

u

2

c

 

2

1

2

1

2

K !

mc

 

2

√

1 #

u

2

c

 

2

#

mc

 

2

!

*

mc

 

2

#

mc

 

2

!

(* # 1)mc

 

2

W !

mc

 

2

√

1 #

u

2

c

 

2

#

mc

 

2

W !

(

t

0

  

m(du/dt)u dt

"

1 #

u

2

c

 

2

#

3/2

!

m 

(

u

0

 

u

"

1 #

u

2

c

 

2

#

3/2

 du

S E C T I O N   3 9 . 8 •  Relativistic Energy

1269

Relativistic kinetic energy

K/mc

2

0.5c 1.0c 1.5c 2.0c

0.5

1.0

1.5

2.0

u

Relativistic

case

Nonrelativistic

case

Figure 39.18 A graph comparing relativistic and

nonrelativistic kinetic energy of a moving particle.

The energies are plotted as a function of particle

speed u. In the relativistic case, u is always less than c.

The constant term mc

2

in Equation 39.23, which is independent of the speed of the

particle, is called the 

rest energy E

R

of the particle:

(39.24)

The term *mc

2

, which does depend on the particle speed, is therefore the sum of

the kinetic and rest energies. We define *

mc

2

to be the 

total energy E:

Total energy ! kinetic energy & rest energy

(39.25)

or

(39.26)

The relationship E ! K & mc

2

shows that 

mass is a form of energy, where c

2

in

the  rest  energy  term  is  just  a  constant  conversion  factor.  This  expression  also  shows
that a small mass corresponds to an enormous amount of energy, a concept fundamen-
tal to nuclear and elementary-particle physics.

In  many  situations,  the  linear  momentum  or  energy  of  a  particle  is  measured

rather  than  its  speed.  It  is  therefore  useful  to  have  an  expression  relating  the  total
energy  E to  the  relativistic  linear  momentum  p.  This  is  accomplished  by  using the
expressions  E ! *mc

2

and  p ! *mu. By  squaring  these  equations  and  subtracting,  we

can eliminate u (Problem 43). The result, after some algebra, is

6

E

2

!

p

2

c

2

&

(mc

2

)

2

(39.27)

When the particle is at rest, p ! 0 and so E ! E

R

!

mc

2

.

In Section 35.1, we introduced the concept of a particle of light, called a 

photon.

For particles that have zero mass, such as photons, we set m ! 0 in Equation 39.27 and
find that

E ! pc

(39.28)

This  equation  is  an  exact  expression  relating  total  energy  and  linear  momentum  for
photons, which always travel at the speed of light (in vacuum).

Finally, note that because the mass m of a particle is independent of its motion, m

must have the same value in all reference frames. For this reason, m is often called the
invariant mass. On the other hand, because the total energy and linear momentum
of a particle both depend on velocity, these quantities depend on the reference frame
in which they are measured.

When  we  are  dealing  with  subatomic  particles,  it  is  convenient  to  express  their

energy  in  electron  volts  (Section  25.1)  because  the  particles  are  usually  given  this
energy  by  acceleration  through  a  potential  difference.  The  conversion  factor,  as  you
recall from Equation 25.5, is

1 eV ! 1.60 $ 10

#

19

J

For example, the mass of an electron is 9.11 $ 10

#

31

kg. Hence, the rest energy of the

electron is

m

e

c

2

!

(9.11 $ 10

#

31

kg)(3.00 $ 10

8

m/s)

2

!

8.20 $ 10

#

14

J

!

(8.20 $ 10

#

14

J)(1 eV/1.60 $ 10

#

19

J) ! 0.511 MeV

E !

mc

 

2

√

1 #

u

2

c

 

2

!

*

mc

 

2

E ! K & mc

 

2

E

R

!

mc

 

2

1270

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

Total energy of a relativistic

particle

Rest energy

6

One way to remember this relationship is to draw a right triangle having a hypotenuse of length E

and legs of lengths pc and mc

2

.

Energy–momentum relationship

for a relativistic particle

S E C T I O N   3 9 . 8 •  Relativistic Energy

1271

Quick  Quiz  39.10

The  following  pairs of  energies  represent  the  rest

energy and total energy of three different particles: particle 1: E, 2E; particle 2: E, 3E;
particle 3: 2E, 4E. Rank the particles, from greatest to least, according to their (a) mass;
(b) kinetic energy; (c) speed.

(A)

Find the rest energy of a proton in electron volts.

Solution Using Equation 39.24,

E

R

!

m

p

c

2

!

(1.67 $ 10

#

27

kg)(3.00 $ 10

8

m/s)

2

(B)

If  the  total  energy  of  a  proton  is  three  times  its  rest

energy, what is the speed of the proton?

Solution Equation 39.26 gives

Solving for u gives

(C)

Determine the kinetic energy of the proton in electron

volts.

2.83 $ 10

8

 m/s

u !

√

8

3

 c ! 0.943c !

u

2

c

 

2

!

8
9

"

1 #

u

2

c

 

2

#

!

1
9

3 !

1

√

1 #

u

2

c

 

2

E ! 3m

p

c

 

2

!

m

p

c

 

2

√

1 #

u

2

c

 

2

938 MeV

!

!

(1.50 $ 10

#

10

 J) 

"

1.00 eV

1.60 $ 10

#

19

 J

#

Solution From Equation 39.25,

K ! E # m

p

c

2

!

3m

p

c

2

#

m

p

c

2

!

2m

p

c

2

Because m

p

c

2

!

938 MeV, we see that K ! 1 880  MeV.

(D)

What is the proton’s momentum?

Solution We  can  use  Equation  39.27  to  calculate  the
momentum with E ! 3m

p

c

2

:

E

2

!

p

2

c

2

&

(m

p

c

2

)

2

!

(3m

p

c

2

)

2

p

2

c

2

!

9(m

p

c

2

)

2

#

(m

p

c

2

)

2

!

8(m

p

c

2

)

2

The  unit  of  momentum  is  written  MeV/c,  which  is  a
common unit in particle physics.

What If?

In classical physics, if the momentum of a particle

doubles,  the  kinetic  energy  increases  by  a  factor  of  4.  What
happens  to  the  kinetic  energy  of  the  speedy  proton  in  this
example if its momentum doubles?

Answer Based on what we have seen so far in relativity, it is
likely that you would predict that its kinetic energy does not
increase by a factor of 4. If the momentum doubles, the new
momentum is

Using  Equation  39.27,  we  find  the  square  of  the  new  total
energy:

E

2

new

!

p

2

new

c

2

&

(m

p

c

2

)

2

p

 

new

!

2 

"

√

8 

 

m

p

c

 

2

c

#

!

4

√

2 

 

m

p

c

 

2

c

2 650 MeV/c

p !

√

8 

 

m

p

c

 

2

c

!

√

8 

 

(938 MeV)

c

!

An electron in a television picture tube typically moves with
a speed u ! 0.250c. Find its total energy and kinetic energy
in electron volts.

Solution Using the fact that the rest energy of the electron
is 0.511 MeV together with Equation 39.26, we have

0.528 MeV

!

1.03(0.511 MeV) !

E !

m

e

c

 

2

√

1 #

u

2

c

 

2

!

0.511 MeV

√

1 #

(0.250c)

2

c

 

2

This is 3% greater than the rest energy.

We  obtain  the  kinetic  energy  by  subtracting  the  rest

energy from the total energy:

K ! E # m

e

c

2

!

0.528 MeV # 0.511 MeV

!

0.017 MeV

Example 39.11 The Energy of a Speedy Electron

Example 39.12 The Energy of a Speedy Proton

39.9 Mass and Energy

Equation 39.26, E ! *mc

2

, which represents the total energy of a particle, suggests that

even  when  a  particle  is  at  rest  (* ! 1)  it  still  possesses  enormous  energy  through  its
mass. The clearest experimental proof of the equivalence of mass and energy occurs in
nuclear  and  elementary  particle  interactions  in  which  the  conversion  of  mass  into
kinetic energy takes place. Because of this, in relativistic situations, we cannot use the
principle  of  conservation  of  energy  as  it  was  outlined  in  Chapters  7  and  8.  We  must
include rest energy as another form of energy storage.

This concept is important in atomic and nuclear processes, in which the change in

mass is a relatively large fraction of the initial mass. For example, in a conventional nu-
clear reactor, the uranium nucleus undergoes fission, a reaction that results in several
lighter fragments having considerable kinetic energy. In the case of 

235

U, which is used

as  fuel  in  nuclear  power  plants,  the  fragments  are  two  lighter  nuclei  and  a  few 
neutrons. The total mass of the fragments is less than that of the 

235

U by an amount

'

m. The  corresponding  energy  'mc

2

associated  with  this  mass  difference  is  exactly

equal  to  the  total  kinetic  energy  of  the  fragments.  The  kinetic  energy  is  absorbed
as the  fragments  move  through  water,  raising  the  internal  energy  of  the  water.  This
internal energy is used to produce steam for the generation of electrical power.

Next,  consider  a  basic  fusion reaction  in  which  two  deuterium  atoms  combine  to

form one  helium  atom.  The  decrease  in  mass  that  results  from  the  creation  of  one
helium  atom  from  two  deuterium  atoms  is  'm ! 4.25 $ 10

#

29

kg.  Hence,  the  corre-

sponding  energy  that  results  from  one  fusion  reaction  is  'mc

2

!

3.83 $ 10

#

12

J !

23.9 MeV.  To  appreciate  the  magnitude  of  this  result,  if  only  1 g  of  deuterium  is
converted  to  helium,  the  energy  released  is  on  the  order  of  10

12

J!  At  the  year  2003

cost of  electrical  energy,  this  would  be  worth  about  $30 000.  We  shall  present  more
details  of  these  nuclear  processes  in  Chapter  45  of  the  extended  version  of  this
textbook.

1272

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

Now, using Equation 39.25, we find the new kinetic energy:

K

new

!

E

new

#

m

p

c

2

!

5.7m

p

c

2

#

m

p

c

2

!

4.7m

p

c

2

E

new

!

√

33(m

p

c

 

2

) ! 5.7m

p

c

 

2

E

2

new

!

"

4

√

2 

 

m

p

c

 

2

c

#

2

 c

 

2

&

(m

p

c

 

2

)

2

!

33(m

p

c

 

2

)

2

Notice that this is only 2.35 times as large as the kinetic en-
ergy we found in part (C), not four times as large. In gen-
eral, the factor by which the kinetic energy increases if the
momentum doubles will depend on the initial momentum,
but will approach 4 as the momentum approaches zero. In
this  latter  situation,  classical  physics  correctly  describes  the
situation.

Example 39.13 Mass Change in a Radioactive Decay

The 

216

Po  nucleus  is  unstable  and  exhibits  radioactivity

(Chapter 44). It decays to 

212

Pb by emitting an alpha parti-

cle, which is a helium nucleus, 

4

He. Find

(A)

the mass change in this decay and

(B)

the energy that this represents.

Solution Using  values  in  Table  A.3,  we  see  that  the  initial
and final masses are

m

i

!

m(

216

Po) ! 216.001 905 u

m

f

!

m(

212

Pb) & m(

4

He) ! 211.991 888 u & 4.002 603 u

!

215.994 491 u

Thus, the mass change is

'

m ! 216.001 905 u # 215.994 491 u ! 0.007 414 u

!

(B) The energy associated with this mass change is

E ! 'mc

2

!

(1.23 $ 10

#

29

kg)(3.00 $ 10

8

m/s)

2

!

1.11 $ 10

#

12

J !

This  energy  appears  as  the  kinetic  energy  of  the  alpha

particle and the 

212

Pb nucleus after the decay.

6.92 MeV

1.23 $ 10

#

29

 kg