Physics For Scientists And Engineers 6E - part 306

S E C T I O N   3 8 . 4 •  The Diffraction Grating

1221

(a) the screen is moved to a distance 2L from the grating (b) the screen is moved to
a distance L/2 from the grating (c) the grating is replaced with one of slit spacing 2d
(d) the grating is replaced with one of slit spacing d/2 (e) nothing is changed.

Conceptual Example 38.6 A Compact Disc Is a Diffraction Grating

Light reflected from the surface of a compact disc is multicol-
ored, as shown in Figure 38.20. The colors and their intensi-
ties depend on the orientation of the disc relative to the eye
and relative to the light source. Explain how this works.

Solution The surface of a compact disc has a spiral grooved
track  (with  adjacent  grooves  having  a  separation  on  the
order of 1 /m). Thus, the surface acts as a reflection grating.
The  light  reflecting  from  the  regions  between  these  closely
spaced grooves interferes constructively only in certain direc-
tions that depend on the wavelength and on the direction of
the incident light. Any section of the disc serves as a diffrac-
tion grating for white light, sending different colors in differ-
ent  directions.  The  different  colors  you  see  when  viewing
one section change as the light source, the disc, or you move
to change the angles of incidence or diffraction.

Figure 38.20 (Conceptual Example 38.6) A compact disc

observed under white light. The colors observed in the

reflected light and their intensities depend on the orientation

of the disc relative to the eye and relative to the light source.

©

Kristen Brochmann/Fundamental Photographs

Example 38.7 The Orders of a Diffraction Grating

Monochromatic  light  from  a  helium–neon  laser  (% "
632.8 nm) is incident normally on a diffraction grating con-
taining  6 000  grooves  per  centimeter.  Find  the  angles  at
which the first- and second-order maxima are observed.

Solution First, we must calculate the slit separation, which
is  equal  to  the  inverse  of  the  number  of  grooves  per
centimeter:

For the first-order maximum (m " 1), we obtain

22.311

!

 

1

"

sin !

 

1

"

%
d

"

632.8 nm
1 667 nm

"

0.379 6

d "

1

6 000

 cm " 1.667 & 10

'

4

 cm " 1 667 nm

For the second-order maximum (m " 2), we find

What If?

What if we look for the third-order maximum? Do

we find it?

Answer For  m " 3,  we  find  sin !

3

"

1.139.  Because  sin!

cannot exceed unity, this does not represent a realistic solu-
tion.  Hence,  only  zeroth-,  first-,  and  second-order  maxima
are observed for this situation.

49.391

!

 

2

"

sin !

 

2

"

2%

d

"

2(632.8 nm)

1 667 nm

"

0.759 2

Investigate the interference pattern from a diffraction grating at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Resolving Power of the Diffraction Grating

The diffraction grating is useful for measuring wavelengths accurately. Like the prism,
the diffraction grating can be used to separate white light into its wavelength compo-
nents. Of the two devices, a grating with very small slit separation is more precise if one
wants to distinguish two closely spaced wavelengths.

Interactive

For two nearly equal wavelengths %

1

and %

2

between which a diffraction grating can

just barely distinguish, the 

resolving power R of the grating is defined as

(38.11)

where  % " (%

1

,

%

2

)/2  and  (% " %

2

'

%

1

.  Thus,  a  grating  that  has  a  high  resolv-

ing power  can  distinguish  small  differences  in  wavelength.  If  N slits  of  the
grating are illuminated, it can be shown that the resolving power in the mth-order
diffraction is

(38.12)

Thus,  resolving  power  increases  with  increasing  order  number  and  with  increasing
number of illuminated slits.

Note that R " 0 for m " 0; this signifies that all wavelengths are indistinguishable for

the  zeroth-order  maximum.  However,  consider  the  second-order  diffraction  pattern
(m " 2) of a grating that has 5 000 rulings illuminated by the light source. The resolving
power  of  such  a  grating  in  second  order  is  R " 5 000 & 2 " 10 000.  Therefore,  for  a
mean wavelength of, for example, 600 nm, the minimum wavelength separation between
two spectral lines that can be just resolved is (% " %/

R " 6.00 & 10

'

2

nm. For the third-

order principal maximum, R " 15 000 and (% " 4.00 & 10

'

2

nm, and so on.

R " Nm

R 

' 

%

%

2

'

%

1

"

%

(

%

1222

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

Example 38.8 Resolving Sodium Spectral Lines

When a gaseous element is raised to a very high temperature,
the atoms emit radiation having discrete wavelengths. The set
of wavelengths for a given element is called its atomic spectrum
(Chapter 42). Two strong components in the atomic spectrum
of sodium have wavelengths of 589.00 nm and 589.59 nm.

(A)

What  resolving  power  must  a  grating  have  if  these

wavelengths are to be distinguished?

Solution Using Equation 38.11,

999

R "

%

(

%

"

589.30 nm

589.59 nm ' 589.00 nm

"

589.30

0.59

"

(B)

To  resolve  these  lines  in  the  second-order  spectrum,

how many slits of the grating must be illuminated?

Solution From  Equation  38.12  and  the  result  to  part  (A),
we find that

500 slits

N "

R

m

"

999

2

"

Application Holography

One  interesting  application  of  diffraction  gratings  is

holography, the production of three-dimensional images
of  objects.  The  physics  of  holography  was  developed  by
Dennis  Gabor  in  1948,  and  resulted  in  the  Nobel  Prize
in physics  for  Gabor  in  1971.  The  requirement  of  coher-
ent light for holography, however, delayed the realization
of  holographic  images  from  Gabor’s  work  until  the
development  of  lasers  in  the  1960s.  Figure  38.21  shows
a hologram  and  the  three-dimensional  character  of  its
image.

Figure 38.22 shows how a hologram is made. Light from

the laser is split into two parts by a half-silvered mirror at B.
One  part  of  the  beam  reflects  off  the  object  to  be  pho-
tographed  and  strikes  an  ordinary  photographic  film.  The
other half of the beam is diverged by lens L

2

, reflects from

mirrors  M

1

and  M

2

,  and  finally  strikes  the  film.  The  two

beams  overlap  to  form  an  extremely  complicated  interfer-
ence pattern on the film. Such an interference pattern can
be produced only if the phase relationship of the two waves

is constant throughout the exposure of the film. This condi-
tion  is  met  by  illuminating  the  scene  with  light  coming
through  a  pinhole  or  with  coherent  laser  radiation.  The
hologram  records  not  only  the  intensity  of  the  light  scat-
tered  from  the  object  (as  in  a  conventional  photograph),
but  also  the  phase  difference  between  the  reference  beam
and  the  beam  scattered  from  the  object.  Because  of  this
phase  difference,  an  interference  pattern  is  formed  that
produces an image in which all three-dimensional informa-
tion available from the perspective of any point on the holo-
gram is preserved.

In  a  normal  photographic  image,  a  lens  is  used  to  focus

the image so that each point on the object corresponds to a
single point on the film. Notice that there is no lens used in
Figure  38.22  to  focus  the  light  onto  the  film.  Thus,  light
from each point on the object reaches all points on the film.
As  a  result,  each  region  of  the  photographic  film  on  which
the hologram  is  recorded  contains  information  about  all
illuminated  points  on  the  object.  This  leads  to  a  remarkable

Resolving power of a grating

Resolving power

S E C T I O N   3 8 . 4 •  The Diffraction Grating

1223

result—if  a  small  section  of  the  hologram  is  cut  from  the
film, the complete image can be formed from the small piece!
(The  quality  of  the  image  is  reduced,  but  the  entire  image
is present.)

A  hologram  is  best  viewed  by  allowing  coherent  light

to  pass  through  the  developed  film  as  one  looks  back
along  the  direction  from  which  the  beam  comes.  The
interference pattern on the film acts as a diffraction grat-
ing.  Figure  38.23  shows  two  rays  of  light  striking  the  film
and passing through. For each ray, the m " 0 and m " # 1
rays  in  the  diffraction  pattern  are  shown  emerging  from
the  right  side  of  the  film.  The  m " , 1  rays  converge  to

form  a  real  image  of  the  scene,  which  is  not  the  image
that is normally viewed. By extending the light rays corre-
sponding  to  m " ' 1  back  behind  the  film,  we  see  that
there  is  a  virtual  image  located  there,  with  light  coming
from  it  in  exactly  the  same  way  that  light  came  from
the actual  object  when  the  film  was  exposed.  This  is
the image that  we  see  by  looking  through  the  holo-
graphic film.

Holograms  are  finding  a  number  of  applications.  You

may have a hologram on your credit card. This is a special
type  of  hologram  called  a  rainbow  hologram, designed  to  be
viewed in reflected white light.

M

2

Film

L

1

B

L

2

Laser

M

1

Figure 38.21 In this hologram, a circuit board is shown from two different views.

Notice the difference in the appearance of the measuring tape and the view through

the magnifying lens.

Figure 38.22 Experimental arrangement for produc-

ing a hologram.

Photo by Ronald R. Erickson; hologram by Nicklaus Phillips

Virtual image

Hologram

Incoming light ray

Incoming light ray

m = 0

m = –1

m = +1

m = –1

m = 0

Real image

m = +1

Figure 38.23 Two light rays strike a hologram

at normal incidence. For each ray, outgoing

rays corresponding to m " 0 and m " # 1 are

shown. If the m " ' 1 rays are extended

backward, a virtual image of the object

photographed in the hologram exists on the

front side of the hologram.

38.5 Diffraction of X-Rays by Crystals

In  principle,  the  wavelength  of  any  electromagnetic  wave  can  be  determined  if  a
grating  of  the  proper  spacing  (on  the  order  of  %)  is  available.  X-rays,  discovered  by
Wilhelm  Roentgen  (1845–1923)  in  1895,  are  electromagnetic  waves  of  very  short
wavelength  (on  the  order  of  0.1 nm).  It  would  be  impossible  to  construct  a  grating
having  such  a  small  spacing  by  the  cutting  process  described  at  the  beginning  of
Section 38.4. However, the atomic spacing in a solid is known to be about 0.1 nm. In
1913, Max von Laue (1879–1960) suggested that the regular array of atoms in a crystal
could act as a three-dimensional diffraction grating for x-rays. Subsequent experiments
confirmed this prediction. The diffraction patterns from crystals are complex because
of the three-dimensional nature of crystal structure. Nevertheless, x-ray diffraction has
proved to be an invaluable technique for elucidating these structures and for under-
standing the structure of matter.

Figure 38.24 is one experimental arrangement for observing x-ray diffraction from

a  crystal.  A  collimated  beam  of  monochromatic  x-rays  is  incident  on  a  crystal.  The
diffracted beams are very intense in certain directions, corresponding to constructive
interference  from  waves  reflected  from  layers  of  atoms  in  the  crystal.  The  diffracted
beams, which can be detected by a photographic film, form an array of spots known as
a Laue pattern, as in Figure 38.25a. One can deduce the crystalline structure by analyz-
ing the positions and intensities of the various spots in the pattern. Fig. 38.25b shows a
Laue  pattern  from  a  crystalline  enzyme,  using  a  wide  range  of  wavelengths  so  that  a
swirling pattern results.

The  arrangement  of  atoms  in  a  crystal  of  sodium  chloride  (NaCl)  is  shown  in

Figure 38.26. Each unit cell (the geometric solid that repeats throughout the crystal)
is a cube having an edge length a. A careful examination of the NaCl structure shows
that the ions lie in discrete planes (the shaded areas in Fig. 38.26). Now suppose that
an incident x-ray beam makes an angle ! with one of the planes, as in Figure 38.27.
The beam can be reflected from both the upper plane and the lower one. However,

1224

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

Photographic

film

Collimator

X-ray

tube

Crystal

X-rays

Figure 38.24 Schematic diagram

of the technique used to observe

the diffraction of x-rays by a crystal.

The array of spots formed on the

film is called a Laue pattern.

Figure 38.25 (a) A Laue pattern of a single crystal of the mineral beryl (beryllium alu-

minum silicate). Each dot represents a point of constructive interference. (b) A Laue

pattern of the enzyme Rubisco, produced with a wide-band x-ray spectrum. This 

enzyme is present in plants and takes part in the process of photosynthesis. The Laue

pattern is used to determine the crystal structure of Rubisco.

© 

I. Andersson Oxford Molecular Biophysics Laboratory/Photo Researchers, Inc.

(b)

(a)

Used with permission of Eastman Kodak Company