Physics For Scientists And Engineers 6E - part 304

interference  pattern  (the  cosine-squared  factor),  as  shown  in  Figure  38.11.  The
broken blue curve in Figure 38.11 represents the factor in square brackets in Equa-
tion  38.6.  The  cosine-squared  factor  by  itself  would  give  a  series  of  peaks  all  with
the same height as the highest peak of the red-brown curve in Figure 38.11. Because
of  the  effect  of  the  square-bracket  factor,  however,  these  peaks  vary  in  height
as shown.

Equation  37.2  indicates  the  conditions  for  interference  maxima  as  d sin! " m%,

where  d is  the  distance  between  the  two  slits.  Equation  38.1  specifies  that  the  first
diffraction minimum occurs when a sin! " %, where a is the slit width. Dividing Equa-
tion  37.2  by  Equation  38.1  (with  m " 1)  allows  us  to  determine  which  interference
maximum coincides with the first diffraction minimum:

(38.7)

In Figure 38.11, d/a " 18 /m/3.0 /m " 6. Therefore, the sixth interference maximum
(if  we  count  the  central  maximum  as  m " 0)  is  aligned  with  the  first  diffraction
minimum and cannot be seen.

 

d 
a 

"

m

d sin!
a sin!

"

m

 

%

%

S E C T I O N   3 8 . 2 •  Diffraction Patterns from Narrow Slits

1213

I

Diffraction

envelope

Interference

fringes

–3

–2

–

π

π

2

3

/2

β

π

π

π

π

Active Figure 38.11 The combined effects of two-slit and single-slit interference. This

is the pattern produced when 650-nm light waves pass through two 3.0-

/

m slits that are

18

/

m apart. Notice how the diffraction pattern acts as an “envelope” and controls the

intensity of the regularly spaced interference maxima.

Courtesy of Central Scientific Company

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the slit width, slit

separation, and the wavelength

of the light to see the effect on

the interference pattern.

Quick  Quiz  38.3

Using  Figure  38.11  as  a  starting  point,  make  a  sketch  of

the combined diffraction and interference pattern for 650-nm light waves striking two
3.0-/m slits located 9.0 /m apart.

38.3 Resolution of Single-Slit 

and Circular Apertures

The  ability  of  optical  systems  to  distinguish  between  closely  spaced  objects  is  limited
because of the wave nature of light. To understand this difficulty, consider Figure 38.12,
which shows two light sources far from a narrow slit of width a. The sources can be two
noncoherent point sources S

1

and S

2

—for example, they could be two distant stars. If

no interference occurred between light passing through different parts of the slit, two
distinct  bright  spots  (or  images)  would  be  observed  on  the  viewing  screen.  However,
because of such interference, each source is imaged as a bright central region flanked
by  weaker  bright  and  dark  fringes—a  diffraction  pattern.  What  is  observed  on  the
screen is the sum of two diffraction patterns: one from S

1

, and the other from S

2

.

If the two sources are far enough apart to keep their central maxima from overlap-

ping as in Figure 38.12a, their images can be distinguished and are said to be resolved.
If the sources are close together, however, as in Figure 38.12b, the two central maxima
overlap,  and  the  images  are  not  resolved.  To  determine  whether  two  images  are
resolved, the following condition is often used:

1214

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

Quick  Quiz  38.4

Consider the central peak in the diffraction envelope in

Figure 38.11. Suppose the wavelength of the light is changed to 450 nm. What happens
to  this  central  peak?  (a)  The  width  of  the  peak  decreases  and  the  number  of  inter-
ference  fringes  it  encloses  decreases.  (b)  The  width  of  the  peak  decreases  and  the
number  of  interference  fringes  it  encloses  increases.  (c)  The  width  of  the  peak
decreases  and  the  number  of  interference  fringes  it  encloses  remains  the  same.
(d) The width of the peak increases and the number of interference fringes it encloses
decreases. (e) The width of the peak increases and the number of interference fringes
it encloses increases. (f) The width of the peak increases and the number of interfer-
ence fringes it encloses remains the same.

S

1

S

2

S

1

S

2

Slit

Viewing screen

(a)

(b)

Slit

Viewing screen

θ

θ

Figure 38.12 Two point sources far from a narrow slit each produce a diffraction

pattern. (a) The angle subtended by the sources at the slit is large enough for the

diffraction patterns to be distinguishable. (b) The angle subtended by the sources is so

small that their diffraction patterns overlap, and the images are not well resolved.

(Note that the angles are greatly exaggerated. The drawing is not to scale.)

When  the  central  maximum  of  one  image  falls  on  the  first  minimum  of  another
image, the images are said to be just resolved. This limiting condition of resolution
is known as 

Rayleigh’s criterion.

From Rayleigh’s criterion, we can determine the minimum angular separation !

min

subtended  by  the  sources  at  the  slit  in  Figure  38.12  for  which  the  images  are  just
resolved.  Equation  38.1  indicates  that  the  first  minimum  in  a  single-slit  diffraction
pattern occurs at the angle for which

where a is the width of the slit. According to Rayleigh’s criterion, this expression gives
the smallest angular separation for which the two images are resolved. Because % ++

a

in  most  situations,  sin! is  small,  and  we  can  use  the  approximation  sin!

! !.

Therefore, the limiting angle of resolution for a slit of width a is

(38.8)

where !

min

is expressed in radians. Hence, the angle subtended by the two sources at

the slit must be greater than %/a if the images are to be resolved.

Many  optical  systems  use  circular  apertures  rather  than  slits.  The  diffraction

pattern of a circular aperture, as shown in the lower half of Figure 38.13, consists of
a  central  circular  bright  disk  surrounded  by  progressively  fainter  bright  and  dark
rings.  Figure  38.13  shows  diffraction  patterns  for  three  situations  in  which  light
from two point sources passes through a circular aperture. When the sources are far
apart, their images are well resolved (Fig. 38.13a). When the angular separation of
the sources satisfies Rayleigh’s criterion, the images are just resolved (Fig. 38.13b).
Finally,  when  the  sources  are  close  together,  the  images  are  said  to  be  unresolved
(Fig. 38.13c).

!

 

min

"

 

%

a

 sin! "

 

%

a

S E C T I O N   3 8 . 3 •  Resolution of Single-Slit and Circular Apertures

1215

(b)

(a)

(c)

Figure 38.13 Individual diffraction patterns of two point sources (solid curves) and

the resultant patterns (dashed curves) for various angular separations of the sources.

In each case, the dashed curve is the sum of the two solid curves. (a) The sources

are far apart, and the patterns are well resolved. (b) The sources are closer together

such that the angular separation just satisfies Rayleigh’s criterion, and the

patterns are just resolved. (c) The sources are so close together that the patterns are

not resolved.

M. Cagnet, M. Francon, and J. C. Thierr

Analysis shows that the limiting angle of resolution of the circular aperture is

(38.9)

where D is the diameter of the aperture. Note that this expression is similar to Equa-
tion 38.8 except for the factor 1.22, which arises from a mathematical analysis of dif-
fraction from the circular aperture.

!

 

min

"

1.22

 

 

 

%

D

1216

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

Limiting angle of resolution for

a circular aperture

Quick Quiz 38.5

Cat’s eyes have pupils that can be modeled as vertical slits.

At night, would cats be more successful in resolving (a) headlights on a distant car, or
(b) vertically-separated lights on the mast of a distant boat?

Quick Quiz 38.6

Suppose you are observing a binary star with a telescope

and are having difficulty resolving the two stars. You decide to use a colored filter to
maximize the resolution. (A filter of a given color transmits only that color of light.)
What color filter should you choose? (a) blue (b) green (c) yellow (d) red.

Example 38.3 Limiting Resolution of a Microscope

Light of wavelength 589 nm is used to view an object under
a microscope. If the aperture of the objective has a diameter
of 0.900 cm,

(A)

what is the limiting angle of resolution?

Solution Using  Equation  38.9,  we  find  that  the  limiting
angle of resolution is

This means that any two points on the object subtending an
angle  smaller  than  this  at  the  objective  cannot  be  distin-
guished in the image.

(B)

If it were possible to use visible light of any wavelength,

what  would  be  the  maximum  limit  of  resolution  for  this
microscope?

Solution To obtain the smallest limiting angle, we have to
use the shortest wavelength available in the visible spectrum.
Violet light (400 nm) gives a limiting angle of resolution of

5.42 & 10

'

5

 rad

!

 

min

"

1.22 

%

400 & 10

'

9

 m

0.900 & 10

'

2

 m

&

"

7.98 & 10

'

5

 rad

!

 

min

"

1.22 

%

589 & 10

'

9

 m

0.900 & 10

'

2

 m

&

"

What  If?

Suppose  that  water  (n ! 1.33)  fills  the  space

between  the  object  and  the  objective.  What  effect  does  this
have on resolving power when 589-nm light is used?

Answer Because  light  travels  more  slowly  in  water,  we
know  that  the  wavelength  of  the  light  in  water  is  smaller
than  that  in  vacuum.  Based  on  Equation  38.9,  we  expect
the  limiting  angle  of  resolution  to  be  smaller.  To  find  the
new value of the limiting angle of resolution, we first calcu-
late  the  wavelength  of  the  589-nm  light  in  water  using
Equation 35.7:

The limiting angle of resolution at this wavelength is

which is indeed smaller than that calculated in part (A).

6.00 & 10

'

5

 rad

!

 

min

"

1.22 

%

443 & 10

'

9

 m

0.900 & 10

'

2

 m

&

"

%

 

water

"

%

 

air

n

 

water

"

589 nm

1.33

"

443 nm

Example 38.4 Resolution of the Eye

Estimate the limiting angle of resolution for the human eye,
assuming its resolution is limited only by diffraction.

Solution Let  us  choose  a  wavelength  of  500 nm,  near  the
center  of  the  visible  spectrum.  Although  pupil  diameter
varies from person to person, we estimate a daytime diame-
ter  of  2 mm.  We  use  Equation  38.9,  taking  % " 500 nm

and D " 2 mm:

1 min of arc

3 & 10

'

4

 rad

!

!

!

 

min

"

1.22 

 

%

D

"

1.22 

%

5.00 & 10

'

7

 m

2 & 10

'

3

 m

&