Physics For Scientists And Engineers 6E - part 207

Problems

825

sis  of  an  infinite  array,  determine  the  equivalent  capaci-
tance  C between  terminals  X and  Y of  the  infinite  set  of
capacitors  represented  in  Figure  P26.30.  Each  capacitor
has  capacitance  C

0

.  Suggestion: Imagine  that  the  ladder  is

cut  at  the  line  AB,  and  note  that  the  equivalent  capaci-
tance of the infinite section to the right of AB is also C.

person.  A  particular  device  can  be  destroyed  by  a
discharge  releasing  an  energy  of  250 %J.  To  what  voltage
on the body does this correspond?

36.

A  uniform  electric  field  E # 3 000 V/m  exists  within  a
certain  region.  What  volume  of  space  contains  an  energy
equal  to  1.00 * 10

$

7

J?  Express  your  answer  in  cubic

meters and in liters.

A parallel-plate capacitor has a charge Q and plates of

area  A. What  force  acts  on  one  plate  to  attract  it  toward
the  other  plate?  Because  the  electric  field  between  the
plates  is  E # Q /A)

0

,  you  might  think  that  the  force  is

F # QE # Q

2

/A)

0

.  This  is  wrong,  because  the  field  E in-

cludes  contributions  from  both  plates,  and  the  field  cre-
ated  by  the  positive  plate  cannot  exert  any  force  on  the
positive plate. Show that the force exerted on each plate is
actually  F # Q

2

/2)

0

A. (Suggestion: Let  C # )

0

A/x for  an

arbitrary  plate  separation  x;  then  require  that  the  work
done in separating the two charged plates be W #

)F dx.)

The  force  exerted  by  one  charged  plate  on  another  is
sometimes  used  in  a  machine  shop  to  hold  a  workpiece
stationary.

38.

The circuit in Figure P26.38 consists of two identical paral-
lel  metal  plates  connected  by  identical  metal  springs  to  a
100-V  battery.  With  the  switch  open,  the  plates  are
uncharged, are separated by a distance d # 8.00 mm, and
have a capacitance C # 2.00 %F. When the switch is closed,
the  distance  between  the  plates  decreases  by  a  factor  of
0.500.  (a)  How  much  charge  collects  on  each  plate  and
(b)  what  is  the  spring  constant  for  each  spring?  (Sugges-
tion: Use the result of Problem 37.)

37.

C

0

C

0

C

0

X

Y

A

B

C

0

Figure P26.30

+

–

k

k

d

∆V

S

Figure P26.38

Section 26.4 Energy Stored in a Charged Capacitor
31. (a)  A  3.00-%F  capacitor  is  connected  to  a  12.0-V  battery.

How  much  energy  is  stored  in  the  capacitor?  (b)  If  the
capacitor  had  been  connected  to  a  6.00-V  battery,  how
much energy would have been stored?

32. The immediate cause of many deaths is ventricular fibrilla-

tion, uncoordinated quivering of the heart as opposed to
proper  beating.  An  electric  shock  to  the  chest  can  cause
momentary  paralysis  of  the  heart  muscle,  after  which  the
heart will sometimes start organized beating again. A defib-
rillator (Fig. 26.14) is a device that applies a strong electric
shock to the chest over a time interval of a few milliseconds.
The  device  contains  a  capacitor  of  several  microfarads,
charged  to  several  thousand  volts.  Electrodes  called  pad-
dles, about 8 cm across and coated with conducting paste,
are held against the chest on both sides of the heart. Their
handles are insulated to prevent injury to the operator, who
calls,  “Clear!’’  and  pushes  a  button  on  one  paddle  to  dis-
charge  the  capacitor  through  the  patient’s  chest.  Assume
that an energy of 300 J is to be delivered from a 30.0-%F ca-
pacitor. To what potential difference must it be charged?

33.

Two  capacitors,  C

1

#

25.0 %F  and  C

2

#

5.00 %F,  are  con-

nected in parallel and charged with a 100-V power supply.
(a) Draw a circuit diagram and calculate the total energy
stored  in  the  two  capacitors.  (b)  What If? What  potential
difference would be required across the same two capaci-
tors  connected  in  series  in  order  that  the  combination
stores the same amount of energy as in (a)? Draw a circuit
diagram of this circuit.

34. A  parallel-plate  capacitor  is  charged  and  then  discon-

nected  from  a  battery.  By  what  fraction  does  the  stored
energy change (increase or decrease) when the plate sepa-
ration is doubled?

35. As  a  person  moves  about  in  a  dry  environment,  electric

charge accumulates on his body. Once it is at high voltage,
either  positive  or  negative,  the  body  can  discharge  via
sometimes  noticeable  sparks  and  shocks.  Consider  a
human body well separated from ground, with the typical
capacitance  150 pF.  (a)  What  charge  on  the  body  will
produce  a  potential  of  10.0 kV?  (b)  Sensitive  electronic
devices can be destroyed by electrostatic discharge from a

39.

Review problem. A certain storm cloud has a potential of
1.00 * 10

8

V relative to a tree. If, during a lightning storm,

50.0 C  of  charge  is  transferred  through  this  potential  dif-
ference and 1.00% of the energy is absorbed by the tree,
how much sap in the tree can be boiled away? Model the
sap as water initially at 30.0°C. Water has a specific heat of
4 186 J/kg°C, a boiling point of 100°C, and a latent heat of
vaporization of 2.26 * 10

6

J/kg.

40.

Two  identical  parallel-plate  capacitors,  each  with  capaci-
tance C, are charged to potential difference !V and con-
nected in parallel. Then the plate separation in one of the
capacitors  is  doubled.  (a)  Find  the  total  energy  of  the
system  of  two  capacitors  before the  plate  separation  is
doubled.  (b)  Find  the  potential  difference  across  each
capacitor after the plate separation is doubled. (c) Find the

826

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

total energy of the system after the plate separation is dou-
bled. (d) Reconcile the difference in the answers to parts
(a) and (c) with the law of conservation of energy.

41.

Show that the energy associated with a conducting sphere
of  radius  R and  charge  Q surrounded  by  a  vacuum  is
U # k

e

Q

2

/2R.

42.

Consider  two  conducting  spheres  with  radii  R

1

and  R

2

.

They are separated by a distance much greater than either
radius.  A  total  charge  Q is  shared  between  the  spheres,
subject to the condition that the electric potential energy
of  the  system  has  the  smallest  possible  value.  The  total
charge  Q is  equal  to  q

1

&

q

2

,  where  q

1

represents  the

charge on the first sphere and q

2

the charge on the sec-

ond.  Because  the  spheres  are  very  far  apart,  you  can
assume  that  the  charge  of  each  is  uniformly  distributed
over  its  surface.  You  may  use  the  result  of  Problem  41.
(a) Determine the values of q

1

and q

2

in terms of Q , R

1

,

and  R

2

.  (b)  Show  that  the  potential  difference  between

the spheres is zero. (We saw in Chapter 25 that two con-
ductors  joined  by  a  conducting  wire  will  be  at  the  same
potential in a static situation. This problem illustrates the
general  principle  that  static  charge  on  a  conductor  will
distribute itself so that the electric potential energy of the
system is a minimum.)

Section 26.5 Capacitors with Dielectrics 
43. Determine  (a)  the  capacitance  and  (b)  the  maximum

potential difference that can be applied to a Teflon-filled
parallel-plate capacitor having a plate area of 1.75 cm

2

and

plate separation of 0.040 0 mm.

44. (a)  How  much  charge  can  be  placed  on  a  capacitor  with

air between the plates before it breaks down, if the area of
each of the plates is 5.00 cm

2

? (b) What If? Find the maxi-

mum  charge  if  polystyrene  is  used  between  the  plates
instead of air.
A  commercial  capacitor  is  to  be  constructed  as  shown  in
Figure 26.17a. This particular capacitor is made from two
strips of aluminum separated by a strip of paraffin-coated
paper.  Each  strip  of  foil  and  paper  is  7.00 cm  wide.  The
foil  is  0.004 00 mm  thick,  and  the  paper  is  0.025 0 mm
thick  and  has  a  dielectric  constant  of  3.70.  What  length
should the strips have, if a capacitance of 9.50 * 10

$

8

F is

desired  before  the  capacitor  is  rolled  up?  (Adding  a
second strip of paper and rolling the capacitor effectively
doubles  its  capacitance,  by  allowing  charge  storage  on
both sides of each strip of foil.)

46. The  supermarket  sells  rolls  of  aluminum  foil,  of  plastic

wrap, and of waxed paper. Describe a capacitor made from
supermarket  materials.  Compute  order-of-magnitude  esti-
mates for its capacitance and its breakdown voltage.

47.

A parallel-plate capacitor in air has a plate separation of
1.50 cm  and  a  plate  area  of  25.0 cm

2

.  The  plates

are charged  to  a  potential  difference  of  250 V  and
disconnected  from  the  source.  The  capacitor  is  then
immersed  in  distilled  water.  Determine  (a)  the  charge
on the plates before and after immersion, (b) the capaci-
tance  and  potential  difference  after  immersion,  and
(c) the  change  in  energy  of  the  capacitor.  Assume  the
liquid is an insulator.

45.

48.

A wafer of titanium dioxide (1 # 173) of area 1.00 cm

2

has

a thickness of 0.100 mm. Aluminum is evaporated on the
parallel faces to form a parallel-plate capacitor. (a) Calcu-
late  the  capacitance.  (b)  When  the  capacitor  is  charged
with a 12.0-V battery, what is the magnitude of charge de-
livered  to  each  plate?  (c)  For  the  situation  in  part  (b),
what  are  the  free  and  induced  surface  charge  densities?
(d) What is the magnitude of the electric field?

49.

Each capacitor in the combination shown in Figure P26.49
has a breakdown voltage of 15.0 V. What is the breakdown
voltage of the combination?

20.0 

µ

F

10.0 

µ

F

20.0 

µ

F

20.0 

µ

F

20.0 

µ

F

µ

µ

µ

µ

µ

Figure P26.49

Section 26.6 Electric Dipole in an Electric Field

50.

A  small  rigid  object  carries  positive  and  negative  3.50-nC
charges. It is oriented so that the positive charge has coor-
dinates ($ 1.20 mm, 1.10 mm) and the negative charge is
at  the  point  (1.40 mm,  $ 1.30 mm).  (a)  Find  the  electric
dipole  moment  of  the  object.  The  object  is  placed  in  an
electric  field  E # (7 800ˆi $ 4 900ˆj) N/C.  (b)  Find  the
torque acting on the object. (c) Find the potential energy
of the object–field system when the object is in this orien-
tation. (d) If the orientation of the object can change, find
the  difference  between  the  maximum  and  minimum
potential energies of the system.

51.

A small object with electric dipole moment p is placed in a
nonuniform electric field  E # E(x)ˆi. That is, the field is in
the x direction and its magnitude depends on the coordi-
nate  x.  Let  2 represent  the  angle  between  the  dipole
moment  and  the  x direction.  (a)  Prove  that  the  dipole
feels a net force

in the direction toward which the field increases. (b) Con-
sider  a  spherical  balloon  centered  at  the  origin,  with
radius  15.0 cm  and  carrying  charge  2.00 %C.  Evaluate
dE/dx at the point (16 cm, 0, 0). Assume a water droplet at
this point has an induced dipole moment of 6.30ˆi nC + m.
Find the force on it.

Section 26.7 An Atomic Description of Dielectrics

52.

A  detector  of  radiation  called  a  Geiger  tube  consists  of  a
closed, hollow, conducting cylinder with a fine wire along its
axis.  Suppose  that  the  internal  diameter  of  the  cylinder  is
2.50 cm and that the wire along the axis has a diameter of
0.200 mm.  The  dielectric  strength  of  the  gas  between  the
central wire and the cylinder is 1.20 * 10

6

V/m. Calculate

the  maximum  potential  difference  that  can  be  applied
between the wire and the cylinder before breakdown occurs
in the gas.

F # p 

$

dE

dx

%

 cos 2

Problems

827

53.

The  general  form  of  Gauss’s  law  describes  how  a  charge
creates an electric field in a material, as well as in vacuum.
It is

where  ) # 1)

0

is  the  permittivity  of  the  material.  (a)  A

sheet with charge Q uniformly distributed over its area A is
surrounded  by  a  dielectric.  Show  that  the  sheet  creates  a
uniform  electric  field  at  nearby  points,  with  magnitude
E # Q /2A). (b) Two large sheets of area A, carrying oppo-
site charges  of  equal  magnitude  Q ,  are  a  small  distance
d apart.  Show  that  they  create  uniform  electric  field  in
the space  between  them,  with  magnitude  E # Q /A).
(c) Assume  that  the  negative  plate  is  at  zero  potential.
Show  that  the  positive  plate  is  at  potential  Q d/A).
(d) Show  that  the  capacitance  of  the  pair  of  plates  is
A)/d # 1A)

0

/d.

Additional Problems

54.

For the system of capacitors shown in Figure P26.54, find
(a)  the  equivalent  capacitance  of  the  system,  (b)  the
potential  across  each  capacitor,  (c)  the  charge  on  each
capacitor, and (d) the total energy stored by the group.

*

 

E+d A #

q
)

capacitance  of  the  three-plate  system  P

1

P

2

P

3

?  (b)  What  is

the charge on P

2

? (c) If P

4

is now connected to the positive

terminal of the battery, what is the capacitance of the four-
plate system P

1

P

2

P

3

P

4

? (d) What is the charge on P

4

?

56.

One conductor of an overhead electric transmission line is
a long aluminum wire 2.40 cm in radius. Suppose that at a
particular moment it carries charge per length 1.40 %C/m
and is at potential 345 kV. Find the potential 12.0 m below
the wire. Ignore the other conductors of the transmission
line  and  assume  the  electric  field  is  everywhere  purely
radial.

57.

Two  large  parallel  metal  plates  are  oriented  horizontally
and  separated  by  a  distance  3d.  A  grounded  conducting
wire joins them, and initially each plate carries no charge.
Now  a  third  identical  plate  carrying  charge  Q is  inserted
between the two plates, parallel to them and located a dis-
tance  d from  the  upper  plate,  as  in  Figure  P26.57. 
(a) What induced charge appears on each of the two origi-
nal plates? (b) What potential difference appears between
the middle plate and each of the other plates? Each plate
has area A.

4.00 

µ

F

2.00 

µ

F

6.00 

µ

F

3.00 

µ

F

90.0 V

µ

µ

µ

µ

Figure P26.54

12.0 V

P

2

P

3

P

4

P

1

d

d

d

Figure P26.55

2d

d

Figure P26.57

55.

Four parallel metal plates P

1

, P

2

, P

3

, and P

4

, each of area

7.50 cm

2

,  are  separated  successively  by  a  distance  d #

1.19 mm, as shown in Figure P26.55. P

1

is connected to the

negative terminal of a battery, and P

2

to the positive termi-

nal. The battery maintains a potential difference of 12.0 V.
(a) If P

3

is connected to the negative terminal, what is the

58.

A  2.00-nF  parallel-plate  capacitor  is  charged  to  an  initial
potential  difference  !V

i

#

100 V  and  then  isolated.  The

dielectric  material  between  the  plates  is  mica,  with  a
dielectric constant of 5.00. (a) How much work is required
to  withdraw  the  mica  sheet?  (b)  What  is  the  potential
difference of the capacitor after the mica is withdrawn?

A  parallel-plate  capacitor  is  constructed  using  a

dielectric  material  whose  dielectric  constant  is  3.00
and whose  dielectric  strength  is  2.00 * 10

8

V/m.  The

desired  capacitance  is  0.250 %F,  and  the  capacitor  must
withstand a maximum potential difference of 4 000 V. Find
the minimum area of the capacitor plates.

60.

A 10.0-%F capacitor has plates with vacuum between them.
Each  plate  carries  a  charge  of  magnitude  1 000 %C.  A
particle  with  charge  $ 3.00 %C  and  mass  2.00 * 10

$

16

kg

is  fired  from  the  positive  plate  toward  the  negative  plate
with an initial speed of 2.00 * 10

6

m/s. Does it reach the

negative  plate?  If  so,  find  its  impact  speed.  If  not,  what
fraction of the way across the capacitor does it travel?

61.

A  parallel-plate  capacitor  is  constructed  by  filling
the space between two square plates with blocks of three
dielectric materials, as in Figure P26.61. You may assume
that ! ,, d. (a) Find an expression for the capacitance of
the device in terms of the plate area A and d, 1

1

, 1

2

, and

1

3

.  (b)  Calculate  the  capacitance  using  the  values

A # 1.00 cm

2

,  d # 2.00 mm,  1

1

#

4.90,  1

2

#

5.60,  and

1

3

#

2.10.

59.

828

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

62.

A  10.0-%F  capacitor  is  charged  to  15.0 V.  It  is  next
connected  in  series  with  an  uncharged  5.00-%F  capacitor.
The series combination is finally connected across a 50.0-V
battery,  as  diagrammed  in  Figure  P26.62.  Find  the  new
potential differences across the 5-%F and 10-%F capacitors.

sent  the  potential  difference. (c)  Find  the  direction  and
magnitude of the force exerted on the dielectric, assuming
a  constant  potential  difference  !V. Ignore  friction. 
(d) Obtain a numerical value for the force assuming that
! #

5.00 cm,  !V # 2 000 V,  d # 2.00 mm,  and  the  dielec-

tric is glass (1 # 4.50). (Suggestion: The system can be con-
sidered as two capacitors connected in parallel.)

65.

A capacitor is constructed from two square plates of sides !
and separation d, as suggested in Figure P26.64. You may
assume that d is much less than !. The plates carry charges
&

Q

0

and $ Q

0

. A block of metal has a width !, a length !,

and a thickness slightly less than d. It is inserted a distance
x into  the  capacitor.  The  charges  on  the  plates  are  not
disturbed  as  the  block  slides  in.  In  a  static  situation,  a
metal prevents an electric field from penetrating inside it.
The  metal  can  be  thought  of  as  a  perfect  dielectric,  with
1 : 0

. (a) Calculate the stored energy as a function of x.

(b)  Find  the  direction  and  magnitude  of  the  force  that
acts on the metallic block. (c) The area of the advancing
front face of the block is essentially equal to !d. Consider-
ing the force on the block as acting on this face, find the
stress (force per area) on it. (d) For comparison, express
the energy density in the electric field between the capaci-
tor plates in terms of Q

0

, !, d, and )

0

.

66.

When  considering  the  energy  supply  for  an  automobile,
the energy per unit mass of the energy source is an impor-
tant  parameter.  Using  the  following  data,  compare  the
energy per unit mass ( J/kg) for gasoline, lead–acid batter-
ies,  and  capacitors.  (The  ampere  A  will  be  introduced  in
the  next  chapter  as  the  SI  unit  of  electric  current.
1 A # 1 C/s.)
Gasoline: 126 000 Btu/gal; density # 670 kg/m

3

.

Lead–acid battery: 12.0 V; 100 A + h; mass # 16.0 kg.
Capacitor: potential  difference  at  full  charge # 12.0 V;
capacitance # 0.100 F; mass # 0.100 kg.
An  isolated  capacitor  of  unknown  capacitance  has  been
charged  to  a  potential  difference  of  100 V.  When  the
charged  capacitor  is  then  connected  in  parallel  to  an
uncharged  10.0-%F  capacitor,  the  potential  difference
across  the  combination  is  30.0 V.  Calculate  the  unknown
capacitance.

68.

To  repair  a  power  supply  for  a  stereo  amplifier,  an  elec-
tronics  technician  needs  a  100-%F  capacitor  capable  of
withstanding  a  potential  difference  of  90 V  between  the
plates.  The  only  available  supply  is  a  box  of  five  100-%F
capacitors,  each  having  a  maximum  voltage  capability  of
50 V. Can the technician substitute a combination of these
capacitors that has the proper electrical characteristics? If
so,  what  will  be  the  maximum  voltage  across  any  of  the
capacitors used? (Suggestion: The technician may not have
to use all the capacitors in the box.)
A  parallel-plate  capacitor  of  plate  separation d is  charged
to a potential difference !V

0

. A dielectric slab of thickness

d and  dielectric  constant  1 is  introduced  between  the
plates  while  the  battery  remains  connected  to  the  plates.
(a) Show that the ratio of energy stored after the dielectric
is introduced to the energy stored in the empty capacitor
is U/U

0

#

1

. Give a physical explanation for this increase

in stored energy. (b) What happens to the charge on the
capacitor?  (Note  that  this  situation  is  not  the  same  as  in

69.

67.

d/2

!

/2

d

!

1

κ

2

κ

3

κ

Figure P26.61

5.00   F

µ

50.0 V

∆V

i

 = 15.0 V

–

+

10.0   F

µ

Figure P26.62

x

d

!

κ

Figure P26.64 Problems 64 and 65.

63.

(a) Two spheres have radii a and b and their centers are a
distance d apart. Show that the capacitance of this system is

provided that d is large compared with a and b. (Suggestion:
Because the spheres are far apart, assume that the poten-
tial  of  each  equals  the  sum  of  the  potentials  due  to  each
sphere, and when calculating those potentials assume that
V # k

e

Q /r applies.) (b) Show that as d approaches infinity

the above result reduces to that of two spherical capacitors
in series.

64.

A capacitor is constructed from two square plates of sides !
and  separation  d. A  material  of  dielectric  constant  1
is  inserted  a  distance  x into  the  capacitor,  as  shown  in
Figure  P26.64.  Assume  that  d is  much  smaller  than  x.
(a) Find the equivalent capacitance of the device. (b) Cal-
culate the energy stored in the capacitor, letting !V repre-

C #

4()

0

1
a

&

1

b

$

2
d