Physics For Scientists And Engineers 6E - part 206

Questions

821

(26.10)

These two equations enable you to simplify many electric circuits by replacing multiple
capacitors with a single equivalent capacitance.

Energy  is  stored  in  a  capacitor  because  the  charging  process  is  equivalent  to  the

transfer of charges from one conductor at a lower electric potential to another conduc-
tor at a higher potential. The energy stored in a capacitor with charge Q is

(26.11)

When a dielectric material is inserted between the plates of a capacitor, the capaci-

tance increases by a dimensionless factor 1, called the 

dielectric constant:

(26.14)

where  C

0

is  the  capacitance  in  the  absence  of  the  dielectric.  The  increase  in  capaci-

tance is due to a decrease in the magnitude of the electric field in the presence of the
dielectric.  The  decrease  in  the  magnitude  of 

E arises  from  an  internal  electric  field

produced by aligned dipoles in the dielectric.

The 

electric dipole moment p of an electric dipole has a magnitude

(26.16)

The direction of the electric dipole moment vector is from the negative charge toward
the positive charge.

The torque acting on an electric dipole in a uniform electric field 

E is

(26.18)

The  potential  energy  of  the  system  of  an  electric  dipole  in  a  uniform  external 

electric field 

E is

(26.20)

U # $

p & E

$ "

p % E

p 

! 2aq

C # 1C

 

0

U #

Q

2

2C

#

1

2

Q 

∆V #

1

2

C(

∆V

  

)

2

1

C

 

eq

#

1

C

1

&

1

C

2

&

1

C

3

& + + +

Geometry

Capacitance

Equation

Isolated sphere of radius R

26.2

(second spherical conductor 

assumed to have infinite radius)

Parallel-plate capacitor of plate

26.3

area A and plate separation d

Cylindrical capacitor of length

26.4

! 

and inner and outer radii a

and b, respectively

Spherical capacitor with inner

26.6

and outer radii a and b,

respectively

C # 4

()

0

R

C #

ab

k

 

e 

(b $ a)

C #

!

2k

 

e

 

ln(b/a)

C #

)

 

0

 

A

d

Capacitance and Geometry

Table 26.2

1. The plates of a capacitor are connected to a battery. What

happens  to  the  charge  on  the  plates  if  the  connecting
wires are removed from the battery? What happens to the
charge if the wires are removed from the battery and con-
nected to each other?

2. A  farad  is  a  very  large  unit  of  capacitance.  Calculate  the

length of one side of a square, air-filled capacitor that has
a capacitance of 1 F and a plate separation of 1 m.

3. A  pair  of  capacitors  are  connected  in  parallel  while  an

identical pair are connected in series. Which pair would be

Q U E S T I O N S

822

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

more dangerous to handle after being connected to the
same battery? Explain.

4. If  you  are  given  three  different  capacitors  C

1

,  C

2

,  C

3

,

how many different combinations of capacitance can you
produce?

5. What  advantage  might  there  be  in  using  two  identical

capacitors  in  parallel  connected  in  series  with  another
identical parallel pair, rather than using a single capacitor?

6. Is it always possible to reduce a combination of capacitors

to one equivalent capacitor with the rules we have devel-
oped? Explain.

7. The sum of the charges on both plates of a capacitor is

zero. What does a capacitor store?

8. Because  the  charges  on  the  plates  of  a  parallel-plate

capacitor  are  opposite  in  sign,  they  attract  each  other.
Hence, it would take positive work to increase the plate
separation.  What  type  of  energy  in  the  system  changes
due to the external work done in this process?

9. Why  is  it  dangerous  to  touch  the  terminals  of  a  high-

voltage capacitor even after the applied potential differ-
ence has been turned off? What can be done to make the
capacitor safe to handle after the voltage source has been
removed?

10. Explain  why  the  work  needed  to  move  a  charge  Q

through  a  potential  difference  !V is  W # Q !V whereas
the  energy  stored  in  a  charged  capacitor  is 
Where does the  factor come from?
If the potential difference across a capacitor is doubled,
by what factor does the energy stored change?

12. It is possible to obtain large potential differences by first

charging a group of capacitors connected in parallel and
then  activating  a  switch  arrangement  that  in  effect  dis-

11.

1

2

U #

1

2

 Q

 

!

V.

connects  the  capacitors  from  the  charging  source  and
from each other and reconnects them in a series arrange-
ment.  The  group  of  charged  capacitors  is  then
discharged  in  series.  What  is  the  maximum  potential
difference that can be obtained in this manner by using
ten  capacitors  each  of  500 %F  and  a  charging  source  of
800 V?

13. Assume  you  want  to  increase  the  maximum  operating

voltage  of  a  parallel-plate  capacitor.  Describe  how  you
can do this for a fixed plate separation.

14. An  air-filled  capacitor  is  charged,  then  disconnected

from  the  power  supply,  and  finally  connected  to  a
voltmeter. Explain how and why the potential difference
changes when a dielectric is inserted between the plates
of the capacitor.

15. Using  the  polar  molecule  description  of  a  dielectric,

explain how a dielectric affects the electric field inside a
capacitor.

16. Explain why a dielectric increases the maximum operat-

ing  voltage  of  a  capacitor  although  the  physical  size  of
the capacitor does not change.

17. What  is  the  difference  between  dielectric  strength  and

the dielectric constant?

18. Explain why a water molecule is permanently polarized.

What  type  of  molecule  has  no  permanent  polarization?

19. If  a  dielectric-filled  capacitor  is  heated,  how  will  its

capacitance  change?  (Ignore  thermal  expansion  and
assume  that  the  dipole  orientations  are  temperature-
dependent.)
If you were asked to design a capacitor where small size
and large capacitance were required, what factors would
be important in your design?

20.

Section 26.1 Definition of Capacitance

1. (a) How much charge is on each plate of a 4.00-%F capaci-

tor  when  it  is  connected  to  a  12.0-V  battery?  (b)  If  this
same  capacitor  is  connected  to  a  1.50-V  battery,  what
charge is stored?

2. Two  conductors  having  net  charges  of  & 10.0 %C  and

$

10.0 %C  have  a  potential  difference  of  10.0 V  between

them.  (a)  Determine  the  capacitance  of  the  system.
(b) What is the potential difference between the two con-
ductors if the charges on each are increased to & 100 %C
and $ 100 %C?

Section 26.2 Calculating Capacitance

An isolated charged conducting sphere of radius 12.0 cm
creates  an  electric  field  of  4.90 * 10

4

N/C  at  a  distance

3.

21.0 cm from its center. (a) What is its surface charge den-
sity? (b) What is its capacitance?

4. (a) If a drop of liquid has capacitance 1.00 pF, what is its

radius? (b) If another drop has radius 2.00 mm, what is its
capacitance? (c) What is the charge on the smaller drop if
its potential is 100 V?

5.

Two  conducting  spheres  with  diameters  of  0.400 m  and
1.00 m are separated by a distance that is large compared
with  the  diameters.  The  spheres  are  connected  by  a  thin
wire  and  are  charged  to  7.00 %C.  (a)  How  is  this  total
charge  shared  between  the  spheres?  (Ignore  any  charge
on  the  wire.)  (b)  What  is  the  potential  of  the  system  of
spheres when the reference potential is taken to be V # 0
at r # 0?

6. Regarding  the  Earth  and  a  cloud  layer  800 m  above

the Earth  as  the  “plates’’  of  a  capacitor,  calculate  the

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Problems

823

d

θ

R

Figure P26.10

C

C

C

C

C

C

Figure P26.18

capacitance.  Assume  the  cloud  layer  has  an  area  of
1.00 km

2

and  that  the  air  between  the  cloud  and  the

ground is pure and dry. Assume charge builds up on the
cloud and on the ground until a uniform electric field of
3.00 * 10

6

N/C  throughout  the  space  between  them

makes  the  air  break  down  and  conduct  electricity  as  a
lightning  bolt.  What  is  the  maximum  charge  the  cloud
can hold?

An  air-filled  capacitor  consists  of  two  parallel  plates,

each with an area of 7.60 cm

2

, separated by a distance of

1.80 mm. A 20.0-V potential difference is applied to these
plates.  Calculate  (a)  the  electric  field  between  the  plates,
(b)  the  surface  charge  density,  (c)  the  capacitance,  and
(d) the charge on each plate.

8. A 1-megabit computer memory chip contains many 60.0-f F

capacitors.  Each  capacitor  has  a  plate  area  of
21.0 * 10

$

12

m

2

. Determine the plate separation of such a

capacitor  (assume  a  parallel-plate  configuration).  The
order  of  magnitude  of  the  diameter  of  an  atom  is
10

$

10

m # 0.1 nm.  Express  the  plate  separation  in

nanometers.
When  a  potential  difference  of  150 V  is  applied  to  the
plates of a parallel-plate capacitor, the plates carry a surface
charge  density  of  30.0 nC/cm

2

.  What  is  the  spacing

between the plates?

10.

A  variable  air  capacitor  used  in  a  radio  tuning  circuit  is
made  of  N semicircular  plates  each  of  radius  R and  posi-
tioned a distance d from its neighbors, to which it is elec-
trically  connected.  As  shown  in  Figure  P26.10,  a  second
identical  set  of  plates  is  enmeshed  with  its  plates  halfway
between  those  of  the  first  set.  The  second  set  can  rotate
as a unit. Determine the capacitance as a function of the
angle of rotation 2, where 2 # 0 corresponds to the maxi-
mum capacitance.

9.

7.

other. The region between the spheres is a vacuum. Deter-
mine the volume of this region.
An  air-filled  spherical  capacitor  is  constructed  with  inner
and  outer  shell  radii  of  7.00  and  14.0 cm,  respectively.
(a) Calculate  the  capacitance  of  the  device.  (b)  What
potential  difference  between  the  spheres  results  in  a
charge of 4.00 %C on the capacitor?

14.

A  small  object  of  mass  m carries  a  charge  q and  is  sus-
pended  by  a  thread  between  the  vertical  plates  of  a
parallel-plate  capacitor.  The  plate  separation  is  d. If  the
thread  makes  an  angle  2 with  the  vertical,  what  is  the
potential difference between the plates?

15. Find  the  capacitance  of  the  Earth.  (Suggestion: The  outer

conductor of the “spherical capacitor’’ may be considered
as  a  conducting  sphere  at  infinity  where  V approaches
zero.)

Section 26.3 Combinations of Capacitors

16.

Two  capacitors,  C

1

#

5.00 %F  and  C

2

#

12.0 %F,  are

connected  in  parallel,  and  the  resulting  combination  is
connected  to  a  9.00-V  battery.  (a)  What  is  the  equivalent
capacitance of the combination? What are (b) the poten-
tial  difference  across  each  capacitor  and  (c)  the  charge
stored on each capacitor?

17.

What If? The  two  capacitors  of  Problem  16  are  now
connected  in  series  and  to  a  9.00-V  battery.  Find  (a)  the
equivalent capacitance of the combination, (b) the poten-
tial difference across each capacitor, and (c) the charge on
each capacitor.

18.

Evaluate  the  equivalent  capacitance  of  the  configuration
shown  in  Figure  P26.18.  All  the  capacitors  are  identical,
and each has capacitance C.

13.

A 50.0-m length of coaxial cable has an inner conduc-

tor that has a diameter of 2.58 mm and carries a charge of
8.10 %C. The surrounding conductor has an inner diame-
ter of 7.27 mm and a charge of $ 8.10 %C. (a) What is the
capacitance of this cable? (b) What is the potential differ-
ence  between  the  two  conductors?  Assume  the  region
between the conductors is air.

12.

A 20.0-%F spherical capacitor is composed of two concen-
tric metal spheres, one having a radius twice as large as the

11.

19.

Two capacitors when connected in parallel give an equiva-
lent capacitance of 9.00 pF and give an equivalent capaci-
tance  of  2.00 pF  when  connected  in  series.  What  is  the
capacitance of each capacitor?

20.

Two capacitors when connected in parallel give an equiva-
lent capacitance of C

p

and an equivalent capacitance of C

s

when connected in series. What is the capacitance of each
capacitor?

Four  capacitors  are  connected  as  shown  in  Figure

P26.21.  (a)  Find  the  equivalent  capacitance  between
points a and b. (b) Calculate the charge on each capacitor
if !V

ab

#

15.0 V.

21.

824

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

22.

Three  capacitors  are  connected  to  a  battery  as  shown  in
Figure  P26.22.  Their  capacitances  are  C

1

#

3C,  C

2

#

C,

and  C

3

#

5C.  (a)  What  is  the  equivalent  capacitance  of

this set of capacitors? (b) State the ranking of the capaci-
tors  according  to  the  charge  they  store,  from  largest  to
smallest.  (c)  Rank  the  capacitors  according  to  the  poten-
tial  differences  across  them,  from  largest  to  smallest.
(d) What If? If  C

3

is  increased,  what  happens  to  the

charge stored by each of the capacitors?

line with capacitance 29.8 %F between A and B. What addi-
tional capacitor should be installed in series or in parallel
in that circuit, to meet the specification?
A group of identical capacitors is connected first in series
and then in parallel. The combined capacitance in parallel
is  100  times  larger  than  for  the  series  connection.  How
many capacitors are in the group?

26.

Consider three capacitors C

1

, C

2

, C

3

, and a battery. If C

1

is

connected to the battery, the charge on C

1

is 30.8 %C. Now

C

1

is  disconnected,  discharged,  and  connected  in  series

with C

2

. When the series combination of C

2

and C

1

is con-

nected across the battery, the charge on C

1

is 23.1 %C. The

circuit  is  disconnected  and  the  capacitors  discharged.
Capacitor C

3

, capacitor C

1

, and the battery are connected

in series, resulting in a charge on  C

1

of 25.2 %C. If, after

being  disconnected  and  discharged,  C

1

,  C

2

,  and  C

3

are

connected in series with one another and with the battery,
what is the charge on C

1

?

27.

Find the equivalent capacitance between points a and b for
the  group  of  capacitors  connected  as  shown  in  Figure
P26.27. Take C

1

#

5.00 %F, C

2

#

10.0 %F, and C

3

#

2.00 %F.

25.

6.00 

µ

F

20.0 

µ

F

3.00 

µ

F

15.0 

µ

F

a

b

µ

µ

µ

µ

Figure P26.21

C

2

C

3

C

1

Figure P26.22

C

1

C

2

S

2

S

1

∆V

Figure P26.23

C

2

C

2

C

1

C

1

C

2

C

2

C

3

b

a

Figure P26.27 Problems 27 and 28.

b

a

6.0 

µ

F

5.0 

µ

F

7.0 

µ

F

4.0 

µ

F

µ

µ
µ

µ

Figure P26.29

Consider  the  circuit  shown  in  Figure  P26.23,  where
C

1

#

6.00 %F, C

2

#

3.00 %F, and !V # 20.0 V. Capacitor

C

1

is first charged by the closing of switch S

1

. Switch S

1

is

then opened, and the charged capacitor is connected to
the  uncharged  capacitor  by  the  closing  of  S

2

.  Calculate

the initial charge acquired by C

1

and the final charge on

each capacitor.

23.

24. According  to  its  design  specification,  the  timer  circuit

delaying the closing of an elevator door is to have a capaci-
tance  of  32.0 %F  between  two  points  A and  B. (a)  When
one  circuit  is  being  constructed,  the  inexpensive  but
durable  capacitor  installed  between  these  two  points  is
found to have capacitance 34.8 %F. To meet the specifica-
tion, one additional capacitor can be placed between the
two  points.  Should  it  be  in  series  or  in  parallel  with  the
34.8-%F  capacitor?  What  should  be  its  capacitance?
(b) What If? The  next  circuit  comes  down  the  assembly

28.

For the network described in the previous problem, if the
potential difference between points a and b is 60.0 V, what
charge is stored on C

3

?

29.

Find the equivalent capacitance between points a and b in
the combination of capacitors shown in Figure P26.29.

30.

Some physical systems possessing capacitance continuously
distributed over space can be modeled as an infinite array
of  discrete  circuit  elements.  Examples  are  a  microwave
waveguide and the axon of a nerve cell. To practice analy-