Physics For Scientists And Engineers 6E - part 179

S E C T I O N   2 3 . 3 •  Coulomb’s Law

713

Quick  Quiz  23.5

Object  A  has  a  charge  of  #2 *C,  and  object  B  has  a

charge  of  # 6 *C.  Which  statement  is  true  about  the  electric  forces  on  the 
objects? (a) 

F

AB

! "

3

F

BA

(b) 

F

AB

! "

F

BA

(c)  3

F

AB

! "

F

BA

(d) 

F

AB

!

3

F

BA

(e) 

F

AB

!

F

BA

(f) 3

F

AB

!

F

BA

Example 23.2 Find the Resultant Force

q

2

! "

2.0 *C,  and  a ! 0.10 m.  Find  the  resultant  force

exerted on q

3

.

Solution First,  note  the  direction  of  the  individual  forces
exerted by q

1

and q

2

on q

3

. The force 

F

23

exerted by q

2

on

q

3

is  attractive  because  q

2

and  q

3

have  opposite  signs.  The

force 

F

13

exerted  by  q

1

on  q

3

is  repulsive  because  both

charges are positive.

The magnitude of 

F

23

is

In the coordinate system shown in Figure 23.8, the attractive
force 

F

23

is to the left (in the negative x direction).

 ! 9.0 N

 ! (8.99 & 10

9

 N'm

2

/C

2

) 

(2.0 & 10

"

6

 C)(5.0 & 10

"

6

 C)

(0.10 m)

2

F

23 

!

k

e

 

! q

 

2

!! q

 

3

!

a

2

Consider three point charges located at the corners of a right
triangle  as  shown  in  Figure  23.8,  where  q

1

!

q

3

!

5.0 *C,

When dealing with Coulomb’s law, you must remember that force is a vector quan-

tity and must be treated accordingly. The law expressed in vector form for the electric
force exerted by a charge q

1

on a second charge q

2

, written 

F

12

, is

(23.6)

where 

rˆ is a unit vector directed from q

1

toward q

2

, as shown in Figure 23.7a. Because

the  electric  force  obeys  Newton’s  third  law,  the  electric  force  exerted  by  q

2

on  q

1

is

equal  in  magnitude  to  the  force  exerted  by  q

1

on  q

2

and  in  the  opposite  direction;

that  is, 

F

21

! "

F

12

.  Finally,  from  Equation  23.6,  we  see  that  if  q

1

and  q

2

have  the

same sign, as in Figure 23.7a, the product q

1

q

2

is positive. If q

1

and q

2

are of opposite

sign, as shown in Figure 23.7b, the product q

1

q

2

is negative. These signs describe the

relative direction of the force but not the absolute direction. A negative product indi-
cates  an  attractive  force,  so  that  the  charges  each  experience  a  force  toward  the
other—thus, the force on one charge is in a direction relative to the other. A positive
product  indicates  a  repulsive  force  such  that  each  charge  experiences  a  force  away
from the other. The absolute direction of the force in space is not determined solely by
the sign of q

1

q

2

—whether the force on an individual charge is in the positive or nega-

tive direction on a coordinate axis depends on the location of the other charge. For
example, if an x axis lies along the two charges in Figure 23.7a, the product  q

1

q

2

is

positive, but 

F

12

points in the # x direction and 

F

21

points in the " x direction.

F

12

!

k

e

 

q

 

1

q

 

2

r

  

2

 ˆ

r

–

+

r

(a)

F

21

F

12

q

1

q

2

(b)

F

21

F

12

q

1

q

2

rˆ

+

+

Active Figure 23.7 Two point

charges separated by a distance r

exert a force on each other that is

given by Coulomb’s law. The force

F

21

exerted by q

2

on q

1

is equal in

magnitude and opposite in direction

to the force F

12

exerted by q

1

on q

2

.

(a) When the charges are of the

same sign, the force is repulsive.

(b) When the charges are of

opposite signs, the force is attractive.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can move the charges to any

position in two-dimensional

space and observe the electric

forces on them.

F

13

q

3

q

1

q

2

a

a

y

x

–

+

+

F

23

2a

√

Figure 23.8 (Example 23.2) The force exerted by q

1

on q

3

is

F

13

. The force exerted by q

2

on q

3

is F

23

. The resultant force F

3

exerted on q

3

is the vector sum F

13

#

F

23

.

Vector form of Coulomb’s law

When more than two charges are present, the force between any pair of them is given

by  Equation  23.6.  Therefore,  the  resultant  force  on  any  one  of  them  equals  the  vector
sum of the forces exerted by the various individual charges. For example, if four charges
are present, then the resultant force exerted by particles 2, 3, and 4 on particle 1 is

F

1

!

F

21

#

F

31

#

F

41

714

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

Example 23.4 Find the Charge on the Spheres

Solution Figure  23.10a  helps  us  conceptualize  this
problem—the  two  spheres  exert  repulsive  forces  on  each
other. If they are held close to each other and released, they
will move outward from the center and settle into the con-
figuration  in  Figure  23.10a  after  the  damped  oscillations

Two identical small charged spheres, each having a mass of
3.0 & 10

"

2

kg,  hang  in  equilibrium  as  shown  in  Figure

23.10a. The length of each string is 0.15 m, and the angle +
is  5.0°.  Find  the  magnitude  of  the  charge  on  each 
sphere.

The magnitude of the force 

F

13

exerted by q

1

on q

3

is

The  repulsive  force 

F

13

makes  an  angle  of  45° with  the  x

axis.  Therefore,  the  x and  y components  of 

F

13

are  equal,

with magnitude given by F

13 

cos 45° ! 7.9 N.

Combining 

F

13

with 

F

23

by the rules of vector addition,

we  arrive  at  the  x and  y components  of  the  resultant  force
acting on q

3

:

 ! 11 N

 ! (8.99 & 10

9

 N'm

2

/C

2

) 

(5.0 & 10

"

6

 C)(5.0 & 10

"

6

 C)

2(0.10 m)

2

F

13

!

k

e

! q

 

1

!! q

 

3

!

(

√2a)

2

F

3x

!

F

13x

#

F

23x

!

7.9 N # (" 9.0 N) ! " 1.1 N

F

3y

!

F

13y

#

F

23y

!

7.9 N # 0 ! 7.9 N

We can also express the resultant force acting on q

3

in unit-

vector form as

What If?

What if the signs of all three charges were changed

to the opposite signs? How would this affect the result for F

3

?

Answer The  charge  q

3

would  still  be  attracted  toward  q

2

and  repelled  from  q

1

with  forces  of  the  same  magnitude.

Thus, the final result for 

F

3

would be exactly the same.

("1.1

iˆ # 7.9

 

jˆ)  N

F

3

!

of  the  forces  on  q

3

are  equal,  but  both  forces  are  in  the

same direction at this location.

What  If?

Suppose  charge  q

3

is  constrained  to  move  only

along the x axis. From its initial position at x ! 0.775 m, it is
pulled a very small distance along the x axis. When released,
will it return to equilibrium or be pulled further from equilib-
rium? That is, is the equilibrium stable or unstable?

Answer If  the  charge  is  moved  to  the  right, 

F

13

becomes

larger and 

F

23

becomes smaller. This results in a net force to

the right, in the same direction as the displacement. Thus,
the equilibrium is unstable.

Note that if the charge is constrained to stay at a fixed x

coordinate but allowed to move up and down in Figure 23.9,
the equilibrium is stable. In this case, if the charge is pulled
upward  (or  downward)  and  released,  it  will  move  back
toward the equilibrium position and undergo oscillation.

Three point charges lie along the x axis as shown in Figure
23.9.  The  positive  charge  q

1

!

15.0 *C  is  at  x ! 2.00 m,

the  positive  charge  q

2

!

6.00 *C  is  at  the  origin,  and  the

resultant  force  acting  on  q

3

is  zero.  What  is  the  x coordi-

nate of q

3

?

Solution Because q

3

is negative and q

1

and q

2

are positive,

the forces 

F

13

and 

F

23

are both attractive, as indicated in Fig-

ure 23.9. From Coulomb’s law, 

F

13

and 

F

23

have magnitudes

For the resultant force on q

3

to be zero, 

F

23

must be equal in

magnitude  and  opposite  in  direction  to 

F

13

.  Setting  the

magnitudes of the two forces equal, we have

Noting that k

e

and 

are common to both sides and so can

be dropped, we solve for x and find that

This can be reduced to the following quadratic equation:

3.00x

2

#

8.00x " 8.00 = 0

Solving this quadratic equation for x, we find that the positive 

root  is  x !

There  is  also  a  second  root,  x !

"

3.44 m. This is another location at which the magnitudes

0.775 m.

(4.00 " 4.00x # x

2

)(6.00 & 10

"

6

 C) ! x

2

(15.0 & 10

"

6

 C)

 (2.00 " x)

2

 

! q

 

2

! ! x

2

 

! q

 

1

!

! q

 

3

!

k

e

 

! q

 

2

!! q

 

3

!

x

2

!

k

e

 

! q

 

1

!! q

 

3

!

(2.00 " x)

2

F

13

!

k

e

 

! q

 

1

!! q

 

3

!

(2.00 " x)

2

   

F

23

!

k

e

 

! q

 

2

!! q

 

3

!

x

2

Example 23.3 Where Is the Resultant Force Zero?

2.00 m

x

q

1

x

q

3

–

q

2

F

13

F

23

2.00 – x

+

+

Figure 23.9 (Example 23.3) Three point charges are placed

along the x axis. If the resultant force acting on q

3

is zero, then

the force F

13

exerted by q

1

on q

3

must be equal in magnitude

and opposite in direction to the force F

23

exerted by q

2

on q

3

.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can predict where on the x axis the electric force is zero
for random values of q

1

and q

2

.

Interactive

23.4 The Electric Field

Two  field  forces  have  been  introduced  into  our  discussions  so  far—the  gravitational
force in Chapter 13 and the electric force here. As pointed out earlier, field forces can
act through space, producing an effect even when no physical contact occurs between
interacting objects. The gravitational field 

g at a point in space was defined in Section

13.5 to be equal to the gravitational force 

F

g

acting on a test particle of mass m divided

by  that  mass: 

g # F

g

/m.  The  concept  of  a  field  was  developed  by  Michael  Faraday

(1791–1867) in the context of electric forces and is of such practical value that we shall
devote much attention to it in the next several chapters. In this approach, an 

electric

field  is  said  to  exist  in  the  region  of  space  around  a  charged  object—the  source
charge. When another charged object—the test charge—enters this electric field, an

S E C T I O N   2 3 . 4 •  The Electric Field

715

The separation of the spheres is 2a ! 0.026 m.

From  Coulomb’s  law  (Eq.  23.1),  the  magnitude  of  the

electric force is

where  r ! 2a ! 0.026 m  and 

!q ! is  the  magnitude  of  the

charge on each sphere. (Note that the term 

!q !

2

arises here

because the charge is the same on both spheres.) This equa-
tion can be solved for 

!q !

2

to give

To  finalize  the  problem,  note  that  we  found  only  the

magnitude of the charge 

!q ! on the spheres. There is no way

we could find the sign of the charge from the information
given. In fact, the sign of the charge is not important. The
situation will be exactly the same whether both spheres are
positively charged or negatively charged.

What  If?

Suppose  your  roommate  proposes  solving  this

problem  without  the  assumption  that  the  charges  are  of
equal  magnitude.  She  claims  that  the  symmetry  of  the
problem is destroyed if the charges are not equal, so that the
strings would make two different angles with the vertical, and
the  problem  would  be  much  more  complicated.  How  would
you respond?

Answer You  should  argue  that  the  symmetry  is  not  de-
stroyed and the angles remain the same. Newton’s third law
requires  that  the  electric  forces  on  the  two  charges  be  the
same,  regardless  of  the  equality  or  nonequality  of  the
charges.  The  solution  to  the  example  remains  the  same
through the calculation of 

!q !

2

. In this situation, the value of

1.96 & 10

"

15

C

2

corresponds to the product q

1

q

2

, where q

1

and q

2

are the values of the charges on the two spheres. The

symmetry of the problem would be destroyed if the masses of
the  spheres  were  not  the  same.  In  this  case,  the  strings
would  make  different  angles  with  the  vertical  and  the
problem would be more complicated.

4.4 & 10

"

8

 C

! q ! !

!q!

2

!

F

e

 

r

2

k

e

!

(2.6 & 10

"

2

 N)(0.026 m)

2

8.99 & 10

9

 N'm

2

/C

2

!

1.96 & 10

"

15

 C

2

F

e

!

k

e

 

! q !

2

r

 

2

due to air resistance have vanished. The key phrase “in equi-
librium’’ helps us categorize this as an equilibrium problem,
which  we  approach  as  we  did  equilibrium  problems  in
Chapter 5 with the added feature that one of the forces on a
sphere  is  an  electric  force.  We  analyze  this  problem  by
drawing  the  free-body  diagram  for  the  left-hand  sphere  in
Figure 23.10b. The sphere is in equilibrium under the appli-
cation of the forces

T from the string, the electric force F

e

from the other sphere, and the gravitational force m

g.

Because the sphere is in equilibrium, the forces in the hor-

izontal and vertical directions must separately add up to zero:

From Equation (2), we see that  T ! mg/cos +; thus, T can
be  eliminated  from  Equation  (1)  if  we  make  this  substitu-
tion.  This  gives  a  value  for  the  magnitude  of  the  electric
force F

e

:

F

e

!

mg tan + ! (3.0 & 10

"

2

kg)(9.80 m/s

2

) tan(5.0°)

!

2.6 & 10

"

2

N

Considering  the  geometry  of  the  right  triangle  in  Figure
23.10a, we see that sin + ! a/L. Therefore,

a ! L sin + ! (0.15 m) sin(5.0°) ! 0.013 m

(2)

     

$

 F

y 

!

T cos + " mg ! 0

(1)

     

$

 F

x 

!

T sin + " F

e

!

0

(a)

(b)

m g

L

L

θ θ

L = 0.15 m

θ 

= 5.0

°

q

a

q

θ

T

T cos

 

θ

T sin

 

θ

θ

F

e

θ

θ

θ

Figure 23.10 (Example 23.4) (a) Two identical spheres, each

carrying the same charge q, suspended in equilibrium. (b) The

free-body diagram for the sphere on the left.

electric force acts on it. As an example, consider Figure 23.11, which shows a small posi-
tive test charge q

0

placed near a second object carrying a much greater positive charge

Q.  We  define  the  electric  field  due  to  the  source  charge  at  the  location  of  the  test
charge to be the electric force on the test charge per unit charge, or to be more specific

716

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

This dramatic photograph captures a

lightning bolt striking a tree near

some rural homes. Lightning is associ-

ated with very strong electric fields in

the atmosphere.

©

Johnny 

Autery

+

+ +
+ +
+ +
+ +

+

+

+

+

+

+

Q

q

0

E

Figure 23.11 A small positive test

charge q

0

placed near an object

carrying a much larger positive

charge Q experiences an electric

field E directed as shown.

the  electric  field  vector  E  at  a  point  in  space  is  defined  as  the  electric  force  F

e

acting on a positive test charge q

0

placed at that point divided by the test charge:

(23.7)

E # 

F

e

q

 

0

Note that 

E is the field produced by some charge or charge distribution separate from

the test charge—it is not the field produced by the test charge itself. Also, note that the
existence of an electric field is a property of its source—the presence of the test charge
is not necessary for the field to exist. The test charge serves as a detector of the electric
field.

Equation 23.7 can be rearranged as

(23.8)

where we have used the general symbol q for a charge. This equation gives us the force
on a charged particle placed in an electric field. If q is positive, the force is in the same

F

e

!

q

 

E

▲

PITFALL PREVENTION 

23.1 Particles Only

Equation  23.8  is  only  valid  for  a
charged  particle —an  object  of
zero size. For a charged object of
finite size in an electric field, the
field  may  vary  in  magnitude  and
direction  over  the  size  of  the
object,  so  the  corresponding
force  equation  may  be  more
complicated.

Definition of electric field