Physics For Scientists And Engineers 6E - part 174

S E C T I O N   2 2 . 8     •     Entropy on a Microscopic Scale

693

Macrostate

Possible Microstates

Total Number of Microstates

All R

RRRR

1

1G, 3R

RRRG, RRGR, RGRR, GRRR

4

2G, 2R

RRGG, RGRG, GRRG, RGGR,
GRGR, GGRR

6

3G, 1R

GGGR, GGRG, GRGG, RGGG

4

All G

GGGG

1

Possible Results of Drawing Four Marbles from a Bag

Table 22.1

Example 22.11 Adiabatic Free Expansion—One Last Time

Let  us  verify  that  the  macroscopic  and  microscopic  ap-
proaches to the calculation of entropy lead to the same con-
clusion for the adiabatic free expansion of an ideal gas. Sup-
pose  that  an  ideal  gas  expands  to  four  times  its  initial
volume. As we have seen for this process, the initial and final
temperatures are the same.

(A)

Using  a  macroscopic  approach,  calculate  the  entropy

change for the gas.

(B)

Using statistical considerations, calculate the change in

entropy for the gas and show that it agrees with the answer
you obtained in part (A).

Solution

(A)

Using Equation 22.13, we have

(B)

The  number  of  microstates  available  to  a  single  mole-

cule in the initial volume V

i

is 

. For N molecules,

w

i

!

V

i

/V

m

nR

  

ln

 

4

%

S ! nR

  

ln

"

V

f

V

i

#

!

nR

  

ln

"

4V

i

V

i

#

!

the number of available microstates is

The number of microstates for all N molecules in the final
volume V

f

!

4V

i

is

Thus, the ratio of the number of final microstates to initial
microstates is

Using Equation 22.18, we obtain

The answer is the same as that for part (A), which dealt with
macroscopic parameters.

What  If?

In  part  (A)  we  used  Equation  22.13,  which  was

based  on  a  reversible  isothermal  process  connecting  the
initial and final states. What if we were to choose a different
reversible process? Would we arrive at the same result?

Answer We must arrive at the same result because entropy is
a  state  variable.  For  example,  consider  the  two-step  process
in  Figure  22.20—a  reversible  adiabatic  expansion  from
V

i

to 4V

i

, (A : B) during which the temperature drops from

T

1

to T

2

, and a reversible isovolumetric process (B : C) that

takes the gas back to the initial temperature T

1

.

During  the  reversible  adiabatic  process,  %S ! 0  because

Q

r

!

0. During the reversible isovolumetric process (B : C),

we have from Equation 22.9,

nR

  

ln

 

4

  ! k

B

 ln(4

N

) ! Nk

B

 

ln

 

4 !

%

S ! k

B

 lnW

f

"

k

B

 lnW

i

!

k

B

 ln

 

"

W

f

W

i

#

W

f

W

i

!

4

N

W

f

!

"

V

f

V

m

#

N

!

"

4V

i

V

m

#

N

 W

i

!

w

i

 

N

!

"

V

i

V

m

#

N

V

P

V

i

4V

i

B

C

A

T

1

T

2

Figure 22.20 (Example 22.11) A gas expands to four times its

initial volume and back to the initial temperature by means of a

two-step process.

Explore the generation of microstates and macrostates at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

macrostate—two red marbles and two green marbles—corre-
sponds to the largest number of microstates. The least likely,

most  ordered  macrostates—four  red  marbles  or  four  green
marbles—correspond  to  the  smallest  number  of  microstates.

694

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

A 

heat  engine is  a  device  that  takes  in  energy  by  heat  and,  operating  in  a  cyclic

process,  expels  a  fraction  of  that  energy  by  means  of  work.  The  net  work  done  by  a
heat engine in carrying a working substance through a cyclic process (%E

int

!

0) is

(22.1)

where 

!Q

h

! is the energy taken in from a hot reservoir and !Q

c

! is the energy expelled

to a cold reservoir.

The 

thermal efficiency e of a heat engine is

(22.2)

The 

second law of thermodynamics can be stated in the following two ways:

• It is impossible to construct a heat engine that, operating in a cycle, produces no

effect other than the input of energy by heat from a reservoir and the performance
of an equal amount of work (the Kelvin–Planck statement).

• It is impossible to construct a cyclical machine whose sole effect is to transfer en-

ergy continuously by heat from one object to another object at a higher tempera-
ture without the input of energy by work (the Clausius statement).

In a 

reversible process, the system can be returned to its initial conditions along

the same path on a PV diagram, and every point along this path is an equilibrium state.
A process that does not satisfy these requirements is 

irreversible. Carnot’s theorem

states  that  no  real  heat  engine  operating  (irreversibly)  between  the  temperatures  T

c

and T

h

can be more efficient than an engine operating reversibly in a Carnot cycle be-

tween the same two temperatures.

The 

thermal efficiency of a heat engine operating in the Carnot cycle is

(22.6)

The  second  law  of  thermodynamics  states  that  when  real  (irreversible)  processes

occur, the degree of disorder in the system plus the surroundings increases. When a
process occurs in an isolated system, the state of the system becomes more disordered.
The measure of disorder in a system is called 

entropy S. Thus, another way in which

the second law can be stated is

• The entropy of the Universe increases in all real processes.

The 

change in entropy dS of a system during a process between two infinitesimally

separated equilibrium states is

(22.8)

where  dQ

r

is  the  energy  transfer  by  heat  for  a  reversible  process  that  connects  the

initial and final states. The change in entropy of a system during an arbitrary process

dS !

dQ

  

r

T

e

C

!

1 "

T

c

T

h

e !

W

eng

! Q

 

h

!

!

1 "

! Q

 

c

!

! Q

 

h

!

W

eng

!

! Q

  

h

! " ! Q

  

c

!

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

Now,  we  can  find  the  relationship  of  temperature  T

2

to  T

1

from Equation 21.20 for the adiabatic process:

T

1

T

2

!

"

4V

i

V

i

#

*"

1

!

(4)

*"

1

%

S !

%

f

i

 

dQ

 

r

T

!

%

C

B

 

nC

V

 

 

dT

T

!

nC

V

 ln

 

"

T

1

T

2

#

Thus,

and  we  do  indeed  obtain  the  exact  same  result  for  the
entropy change.

 ! nC

V

  

"

C

P

C

V

"

1

#

 

ln

 

4 ! n(C

P

"

C

V

)

 

ln

 

4 ! nR

  

ln

 

4

%

S ! nC

V

  

ln

 

(4)

*"

1

!

nC

V

(* " 1)

 

ln

 

4

Questions

695

What are some factors that affect the efficiency of automo-
bile engines?

2. In practical heat engines, which are we better able to con-

trol: the temperature of the hot reservoir or the tempera-
ture of the cold reservoir? Explain.

A  steam-driven  turbine  is  one  major  component  of  an
electric  power  plant.  Why  is  it  advantageous  to  have  the
temperature of the steam as high as possible?

4. Is  it  possible  to  construct  a  heat  engine  that  creates  no

thermal  pollution?  What  does  this  tell  us  about  environ-
mental considerations for an industrialized society?

5. Does the second law of thermodynamics contradict or cor-

rect the first law? Argue for your answer.

6. “The first law of thermodynamics says you can’t really win,

and  the  second  law  says  you  can’t  even  break  even.”
Explain  how  this  statement  applies  to  a  particular  device
or process; alternatively, argue against the statement.

7. In  solar  ponds  constructed  in  Israel,  the  Sun’s  energy  is

concentrated  near  the  bottom  of  a  salty  pond.  With  the

3.

1.

proper  layering  of  salt  in  the  water,  convection  is  pre-
vented,  and  temperatures  of  100°C  may  be  reached.  Can
you  estimate  the  maximum  efficiency  with  which  useful
energy can be extracted from the pond?

8. Can  a  heat  pump  have  a  coefficient  of  performance  less

than unity? Explain.

9. Give various examples of irreversible processes that occur

in  nature.  Give  an  example  of  a  process  in  nature  that  is
nearly reversible.

10. A heat pump is to be installed in a region where the aver-

age  outdoor  temperature  in  the  winter  months
is " 20°C.  In  view  of  this,  why  would  it  be  advisable  to
place the outdoor compressor unit deep in the ground?
Why  are  heat  pumps  not  commonly  used  for  heating  in
cold climates?

The device shown in Figure Q22.11, called a thermoelec-

tric  converter,  uses  a  series  of  semiconductor  cells  to
convert internal energy to electric potential energy, which
we will study in Chapter 25. In the photograph at the left,

11.

Q U E S T I O N S

Figure Q22.11

Courtesy of P

ASCO Scientific Company

between an initial state and a final state is

(22.9)

The value of %S for the system is the same for all paths connecting the initial and

final  states.  The  change  in  entropy  for  a  system  undergoing  any  reversible,  cyclic
process is zero, and when such a process occurs, the entropy of the Universe remains
constant.

From a microscopic viewpoint, the entropy of a given macrostate is defined as

(22.18)

where k

B

is Boltzmann’s constant and W is the number of microstates of the system cor-

responding to the macrostate.

S 

$ k

B

  

ln

 

W

%

S !

%

f

i

 

dQ

 

r

T

696

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

both legs of the device are at the same temperature, and
no  electric  potential  energy  is  produced.  However,  when
one  leg  is  at  a  higher  temperature  than  the  other,  as  in
the  photograph  on  the  right,  electric  potential  energy  is
produced  as  the  device  extracts  energy  from  the  hot 
reservoir and drives a small electric motor. (a) Why does
the  temperature  differential  produce  electric  potential
energy in this demonstration? (b) In what sense does this
intriguing  experiment  demonstrate  the  second  law  of
thermodynamics?

12. Discuss three common examples of natural processes that

involve  an  increase  in  entropy.  Be  sure  to  account  for  all
parts of each system under consideration.

Discuss the change in entropy of a gas that expands (a) at
constant temperature and (b) adiabatically.

14. A thermodynamic process occurs in which the entropy of a

system changes by " 8.0 J/K. According to the second law
of thermodynamics, what can you conclude about the en-
tropy change of the environment?

15. If  a  supersaturated  sugar  solution  is  allowed  to  evaporate

slowly,  sugar  crystals  form  in  the  container.  Hence,  sugar
molecules  go  from  a  disordered  form  (in  solution)  to  a
highly  ordered  crystalline  form.  Does  this  process  violate
the second law of thermodynamics? Explain.

13.

16. How  could  you  increase  the  entropy  of  1 mol  of  a  metal

that  is  at  room  temperature?  How  could  you  decrease  its
entropy?

17. Suppose your roommate is “Mr. Clean” and tidies up your

messy  room  after  a  big  party.  Because  your  roommate  is
creating more order, does this represent a violation of the
second law of thermodynamics?

18. Discuss the entropy changes that occur when you (a) bake

a loaf of bread and (b) consume the bread.

19. “Energy is the mistress of the Universe and entropy is her

shadow.” Writing for an audience of general readers, argue
for  this  statement  with  examples.  Alternatively,  argue  for
the view that entropy is like a decisive hands-on executive
instantly  determining  what  will  happen,  while  energy  is
like a wretched back-office bookkeeper telling us how little
we can afford.

20. A classmate tells you that it is just as likely for all the air mol-

ecules  in  the  room  you  are  both  in  to  be  concentrated  in
one corner (with the rest of the room being a vacuum) as it
is  for  the  air  molecules  to  be  distributed  uniformly  about
the  room  in  their  current  state.  Is  this  a  true  statement?
Why doesn’t the situation he describes actually happen?

21. If  you  shake  a  jar  full  of  jellybeans  of  different  sizes,  the

larger beans tend to appear near the top, and the smaller
ones tend to fall to the bottom. Why? Does this process vio-
late the second law of thermodynamics?

Section 22.1 Heat Engines and the Second Law 

of Thermodynamics

1. A heat engine takes in 360 J of energy from a hot reservoir

and performs 25.0 J of work in each cycle. Find (a) the ef-
ficiency of the engine and (b) the energy expelled to the
cold reservoir in each cycle.

2. A  heat  engine  performs  200 J  of  work  in  each  cycle  and

has  an  efficiency  of  30.0%.  For  each  cycle,  how  much
energy is (a) taken in and (b) expelled by heat?
A  particular  heat  engine  has  a  useful  power  output  of
5.00 kW  and  an  efficiency  of  25.0%.  The  engine  expels
8 000 J  of  exhaust  energy  in  each  cycle.  Find  (a)  the
energy taken in during each cycle and (b) the time inter-
val for each cycle.

4.

Heat engine X takes in four times more energy by heat from
the hot reservoir than heat engine Y. Engine X delivers two
times more work, and it rejects seven times more energy by
heat to the cold reservoir than heat engine Y. Find the effi-
ciency of (a) heat engine X and (b) heat engine Y.

5.

A multicylinder gasoline engine in an airplane, operating
at  2 500 rev/min,  takes  in  energy  7.89 ' 10

3

J  and  ex-

hausts  4.58 ' 10

3

J  for  each  revolution  of  the  crankshaft.

3.

(a)  How  many  liters  of  fuel  does  it  consume  in  1.00 h  of
operation  if  the  heat  of  combustion  is  4.03 ' 10

7

J/L? 

(b)  What  is  the  mechanical  power  output  of  the  engine?
Ignore  friction  and  express  the  answer  in  horsepower. 
(c)  What  is  the  torque  exerted  by  the  crankshaft  on  the
load?  (d)  What  power  must  the  exhaust  and  cooling  sys-
tem transfer out of the engine?

6.

Suppose  a  heat  engine  is  connected  to  two  energy  reser-
voirs,  one  a  pool  of  molten  aluminum  (660°C)  and  the
other  a  block  of  solid  mercury  (" 38.9°C).  The  engine
runs by freezing 1.00 g of aluminum and melting 15.0 g of
mercury  during  each  cycle.  The  heat  of  fusion  of  alu-
minum is 3.97 ' 10

5

J/kg; the heat of fusion of mercury is

1.18 ' 10

4

J/kg. What is the efficiency of this engine?

Section 22.2 Heat Pumps and Refrigerators 

7. A  refrigerator  has  a  coefficient  of  performance  equal  to

5.00. The refrigerator takes in 120 J of energy from a cold
reservoir in each cycle. Find (a) the work required in each
cycle and (b) the energy expelled to the hot reservoir.

8.

A  refrigerator  has  a  coefficient  of  performance  of  3.00.
The  ice  tray  compartment  is  at " 20.0°C,  and  the  room

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S