Physics For Scientists And Engineers 6E - part 171

S E C T I O N   2 2 . 5     •     Gasoline and Diesel Engines

681

Using  these  equations  and  relying  on  the  fact  that
V

A

!

V

D

!

V

1

and V

B

!

V

C

!

V

2

, we find that

Subtracting  Equation  (2)  from  Equation  (3)  and  rearrang-
ing, we find that

Substituting  Equation  (4)  into  Equation  (1),  we  obtain  for
the thermal efficiency

(4)

     

T

D

"

T

A

T

C

"

T

B

!

"

V

2

V

1

#

*"

1

(3)

     

T

D 

!

T

C

 

"

V

2

V

1

#

*"

1

 T

D

V

1

 

*"

1

!

T

C

V

2

 

*"

1

(2)

     

T

A 

!

T

B

 

"

V

2

V

1

#

*"

1

 T

A

V

1

 

*"

1

!

T

B

V

2

 

*"

1

which is Equation 22.7.

We can also express this efficiency in terms of tempera-

tures by noting from Equations (2) and (3) that

Therefore, Equation (5) becomes

During the Otto cycle, the lowest temperature is T

A

and the

highest  temperature  is  T

C

.  Therefore,  the  efficiency  of

a Carnot  engine  operating  between  reservoirs  at  these
two temperatures,  which  is  given  by  the  expression
e

C

!

1 " (T

A

/T

C

), is greater than the efficiency of the Otto

cycle given by Equation (6), as expected.

(6)

     

e ! 1 "

T

A

T

B

!

1 "

T

D

T

C

"

V

2

V

1

#

*"

1

!

T

A

T

B

!

T

D

T

C

(5)

     

e ! 1 "

1

(V

1

/V

2

)

*"

1

Application Models of Gasoline and Diesel Engines

We can use the thermodynamic principles discussed in this
and earlier chapters to model the performance of gasoline
and  diesel  engines.  In  both  types  of  engine,  a  gas  is  first
compressed  in  the  cylinders  of  the  engine  and  then  the
fuel–air mixture is ignited. Work is done on the gas during
compression,  but  significantly  more  work  is  done  on  the
piston by the mixture as the products of combustion expand
in the cylinder. The power of the engine is transferred from
the piston to the crankshaft by the connecting rod.

Two  important  quantities  of  either  engine  are  the

displacement  volume, which  is  the  volume  displaced  by
the  piston  as  it  moves  from  the  bottom  to  the  top  of  the
cylinder,  and  the  compression  ratio  r,  which  is  the  ratio  of
the  maximum  and  minimum  volumes  of  the  cylinder,  as
discussed  earlier.  Most  gasoline  and  diesel  engines  operate
with  a  four-stroke  cycle  (intake,  compression,  power,
exhaust),  in  which  the  net  work  of  the  intake  and  exhaust
strokes  can  be  considered  negligible.  Therefore,  power  is
developed  only  once  for  every  two  revolutions  of  the
crankshaft (see Fig. 22.12).

In a diesel engine, only air (and no fuel) is present in

the  cylinder  at  the  beginning  of  the  compression.  In  the
idealized  diesel  cycle  of  Figure  22.14,  air  in  the  cylinder
undergoes  an  adiabatic  compression  from  A to  B.  Starting
at  B,  fuel  is  injected  into  the  cylinder.  The  high
temperature  of  the  mixture  causes  combustion  of  the
fuel–air  mixture.  Fuel  continues  to  be  injected  in  such  a
way  that  during  the  time  interval  while  the  fuel  is  being
injected,  the  fuel–air  mixture  undergoes  a  constant-
pressure expansion to an intermediate volume V

C

(B : C).

At C, the fuel injection is cut off and the power stroke is an
adiabatic expansion back to V

D

!

V

A

(C : D). The exhaust

valve  is  opened,  and  a  constant-volume  output  of  energy
occurs (D : A) as the cylinder empties.

To  simplify  our  calculations,  we  assume  that  the

mixture  in  the  cylinder  is  air  modeled  as  an  ideal  gas.
We use  specific  heats  c instead  of  molar  specific  heats

C and assume constant values for air at 300 K. We express
the  specific  heats  and  the  universal  gas  constant  in
terms of  unit  masses  rather  than  moles.  Thus,  c

V

!

0.718 kJ/kg ( K, c

P

!

1.005 kJ/kg ( K, * ! c

P

/c

V

!

1.40, and

R ! c

P

"

c

V

!

0.287 kJ/kg ( K ! 0.287 kPa ( m

3

/kg ( K.

A 3.00-L Gasoline Engine

Let us calculate the power delivered by a six-cylinder gasoline
engine that has a displacement volume of 3.00 L operating at
4 000 rpm  and  having  a  compression  ratio  of r ! 9.50.  The
air–fuel mixture enters a cylinder at atmospheric pressure and
an  ambient  temperature  of  27°C.  During  combustion,  the
mixture reaches a temperature of 1 350°C.

First,  let  us  calculate  the  work  done  in  an  individual

cylinder.  Using  the  initial  pressure  P

A

!

100 kPa,  and  the

initial temperature T

A

!

300 K, we calculate the initial volume

and the mass of the air–fuel mixture. We know that the ratio
of the initial and final volumes is the compression ratio,

We  also  know  that  the  difference  in  volumes  is  the
displacement volume. The 3.00-L rating of the engine is the

V

A

V

B

!

r ! 9.50

Adiabatic

processes

A

B

C

D

P

V

Q

h

Q

c

V

2

 = V

B

V

C

V

1

 = V

A

Figure 22.14 PV diagram for an ideal diesel engine.

682

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

total displacement volume for all six cylinders. Thus, for one
cylinder,

Solving  these  two  equations  simultaneously,  we  find  the
initial and final volumes:

Using  the  ideal  gas  law  (in  the  form  PV ! mRT,  because
we are  using  the  universal  gas  constant  in  terms  of  mass
rather  than  moles),  we  can  find  the  mass  of  the  air–fuel
mixture:

Process A : B (see Fig. 22.13) is an adiabatic compression,
and this means that PV

*

!

constant; hence,

Using  the  ideal  gas  law,  we  find  that  the  temperature  after
the compression is

In  process  B : C,  the  combustion  that  transforms  the
potential energy in chemical bonds into internal energy of
molecular motion occurs at constant volume; thus, V

C

!

V

B

.

Combustion  causes  the  temperature  to  increase  to  T

C

!

1 350°C ! 1 623 K. Using this value and the ideal gas law, we
can calculate P

C

:

Process C : D is an adiabatic expansion; the pressure after
the expansion is

Using the ideal gas law again, we find the final temperature:

Now that we have the temperatures at the beginning and end
of each process of the cycle, we can calculate the net energy
transfer and net work done in each cylinder every two cycles:

!

660 K

T

D

!

P

D

V

D

mR

!

(220 kPa)(0.559 ' 10

"

3

 m

3

)

(6.49 ' 10

"

4

 kg)(0.287 kPa(m

3

/kg(K)

!

(5.14 ' 10

3

 kPa)

"

1

9.50

#

1.40

!

220 kPa

P

D

!

P

C 

"

V

C

V

D

#

*

!

P

C 

"

V

B

V

A

#

*

!

P

C 

"

1

r

#

*

!

5.14 ' 10

3

 kPa

!

(6.49 ' 10

"

4

 kg)(0.287 kPa(m

3

/kg(K)(1 623 K)

(0.588 ' 10

"

4

 m

3

)

P

C

!

mRT

C

V

C

!

739 K

T

B

!

P

B

V

B

mR

!

(2.34 ' 10

3

 kPa)(0.588 ' 10

"

4

 m

3

)

(6.49 ' 10

"

4

 kg) (0.287 kPa(m

3

/kg(K)

!

2.34 ' 10

3

 kPa

P

B

!

P

A

"

V

A

V

B

#

*

!

P

A

(r)

*

!

(100 kPa)(9.50)

1.40

P

B

V

B

 

*

!

P

A

V

A

 

*

!

6.49 ' 10

"

4

 kg

m !

P

A

V

A

RT

A

!

(100 kPa)(0.559 ' 10

"

3

 m

3

)

(0.287 kPa(m

3

/kg(K)(300 K)

V

A

!

0.559 ' 10

"

3

 m

3

   

V

B

!

0.588 ' 10

"

4

 m

3

V

A

"

V

B

!

3.00 L

6

!

0.500 ' 10

"

3

 m

3

From Equation 22.2, the efficiency is e ! W

net

/|Q

in

| ! 59%.

(We  can  also  use  Equation  22.7  to  calculate  the  efficiency
directly from the compression ratio.)

Recalling that power is delivered every other revolution

of  the  crankshaft,  we  find  that  the  net  power  for  the  six-
cylinder engine operating at 4 000 rpm is

A 2.00-L Diesel Engine

Let us calculate the power delivered by a four-cylinder diesel
engine that has a displacement volume of 2.00 L and is operat-
ing at 3 000 rpm. The compression ratio is  r ! V

A

/V

B

!

22.0,

and the 

cutoff ratio, which is the ratio of the volume change

during the constant-pressure process B : C in Figure 22.14, is
r

c

!

V

C

/V

B

!

2.00.  The  air  enters  each  cylinder  at  the

beginning  of  the  compression  cycle  at  atmospheric  pressure
and at an ambient temperature of 27°C.

Our model of the diesel engine is similar to our model

of the gasoline engine except that now the fuel is injected at
point  B and  the  mixture  self-ignites  near  the  end  of  the
compression  cycle  A : B,  when  the  temperature  reaches
the ignition temperature. We assume that the energy input
occurs in the constant-pressure process B : C, and that the
expansion  process  continues  from  C to  D with  no  further
energy transfer by heat.

Let  us  calculate  the  work  done  in  an  individual  cylinder

that  has  an  initial  volume  of  V

A

!

(2.00 ' 10

"

3

m

3

)/4 !

0.500 ' 10

"

3

m

3

. Because the compression ratio is quite high,

we  approximate  the  maximum  cylinder  volume  to  be  the
displacement volume. Using the initial pressure P

A

!

100 kPa

and initial temperature T

A

!

300 K , we can calculate the mass

of the air in the cylinder using the ideal gas law:

Process  A : B

is  an  adiabatic  compression,  so

PV

*

!

constant; thus,

Using the ideal gas law, we find that the temperature of the
air after the compression is

!

1.03 ' 10

3

 K

T

B

!

P

B

V

B

mR

!

(7.58 ' 10

3

 kPa)(0.500 ' 10

"

3

 m

3

)(1/22.0)

(5.81 ' 10

"

4

 kg)(0.287 kPa(m

3

/kg(K)

 P

B

!

P

A

"

V

A

V

B

#

*

!

(100 kPa)(22.0)

1.40

!

7.58 ' 10

3

 kPa

P

B

V

B

 

* 

!

P

A

V

A

 

*

!

5.81 ' 10

"

4

 kg

m !

P

A

V

A

RT

A

!

(100 kPa)(0.500 ' 10

"

3

 m

3

)

(0.287 kPa(m

3

/kg(K)(300 K)

!

48.8 kW ! 65 hp

!

net

!

6(

 

1

2

 rev)[(4 000 rev/min)(1 min/60 s)](0.244 kJ)

W

net

!

! Q

 

in

!

 

"

! Q

  

out

! ! 0.244 kJ

!

0.168 kJ

!

(6.49 ' 10

"

4

 kg)(0.718 kJ/kg(K)(660 K " 300 K)

! Q

 

c

! ! ! Q

  

out

! ! mc

V

 

(T

D

"

T

A

)

!

0.412 kJ

!

(6.49 ' 10

"

4

 kg)(0.718 kJ/kg(K)(1 623 " 739 K)

! Q

 

h

! ! ! Q

 

in

! ! mc

V

 

(T

C

"

T

B

)

22.6 Entropy

The zeroth law of thermodynamics involves the concept of temperature, and the first
law involves the concept of internal energy. Temperature and internal energy are both
state variables—that is, they can be used to describe the thermodynamic state of a sys-
tem. Another state variable—this one related to the second law of thermodynamics—is
entropy S. In this section we define entropy on a macroscopic scale as it was first ex-
pressed by Clausius in 1865.

Entropy was originally formulated as a useful concept in thermodynamics; however,

its importance grew as the field of statistical mechanics developed because the analyti-
cal  techniques  of  statistical  mechanics  provide  an  alternative  means  of  interpreting
entropy  and  a  more  global  significance  to  the  concept.  In  statistical  mechanics,  the
behavior of a substance is described in terms of the statistical behavior of its atoms and
molecules.  One  of  the  main  results  of  this  treatment  is  that 

isolated  systems  tend

toward  disorder  and  that  entropy  is  a  measure  of  this  disorder. For  example,
consider the molecules of a gas in the air in your room. If half of the gas molecules
had velocity vectors of equal magnitude directed toward the left and the other half had
velocity vectors of the same magnitude directed toward the right, the situation would
be very ordered. However, such a situation is extremely unlikely. If you could actually
view the molecules, you would see that they move haphazardly in all directions, bump-
ing into one another, changing speed upon collision, some going fast and others going
slowly. This situation is highly disordered.

The cause of the tendency of an isolated system toward disorder is easily explained.

To do so, we distinguish between microstates and macrostates of a system. A 

microstate is

a  particular  configuration  of  the  individual  constituents  of  the  system.  For  example,
the description of the ordered velocity vectors of the air molecules in your room refers
to  a  particular  microstate,  and  the  more  likely  haphazard  motion  is  another  mi-
crostate—one that represents disorder. A 

macrostate is a description of the conditions

of the system from a macroscopic point of view and makes use of macroscopic variables
such as pressure, density, and temperature for gases.

For any given macrostate of the system, a number of microstates are possible. For

example, the macrostate of a four on a pair of dice can be formed from the possible
microstates  1-3,  2-2,  and  3-1.  It  is  assumed  that  all  microstates  are  equally  probable.
However,  when  all  possible  macrostates  are  examined,  it  is  found  that  macrostates

S E C T I O N   2 2 . 6     •     Entropy

683

▲

PITFALL PREVENTION

22.4 Entropy Is Abstract

Entropy  is  one  of  the  most  ab-
stract  notions  in  physics,  so  fol-
low the discussion in this and the
subsequent  sections  very  care-
fully. Do not confuse energy with
entropy—even though the names
sound  similar,  they  are  very  dif-
ferent concepts.

Process  B : C is  a  constant-pressure  expansion;  thus,

P

C

!

P

B

.  We  know  from  the  cutoff  ratio  of  2.00  that  the

volume doubles in this process. According to the ideal gas
law, a doubling of volume in an isobaric process results in
a doubling of the temperature, so

Process C : D is an adiabatic expansion; therefore,

We find the temperature at D from the ideal gas law:

!

792 K

T

D

!

P

D

V

D

mR

!

(264 kPa)(0.500 ' 10

"

3

 m

3

)

(5.81 ' 10

"

4

 kg)(0.287 kPa(m

3

/kg(K)

!

264 kPa

 ! (7.57 ' 10

3

 kPa) 

"

2.00
22.0

#

1.40

 P

D

!

P

C

 

"

V

C

V

D

#

*

!

P

C

 

"

V

C

V

B

 

V

B

V

D

#

*

!

P

C 

"

r

c

  

1

r

#

*

T

C

!

2T

B

!

2.06 ' 10

3

 K

Now  that  we  have  the  temperatures  at  the  beginning  and
the  end  of  each  process,  we  can  calculate  the  net  energy
transfer  by  heat  and  the  net  work  done  in  each  cylinder
every two cycles:

The efficiency is e ! W

net

/

!Q

in

! ! 66%.

The net power for the four-cylinder engine operating at

3 000 rpm is

Modern  engine  design  goes  beyond  this  very  simple
thermodynamic treatment, which uses idealized cycles.

!

39.6 kW ! 53 hp

!

net

!

4(

 

1

2

 rev)[(3 000 rev/min)(1 min/60 s)](0.396 kJ)

W

net

!

! Q

 

in

! " ! Q

 

out

! ! 0.396 kJ

! Q

 

c

! ! ! Q

 

out

! ! mc

V

 

(T

D

"

T

A

) ! 0.205 kJ

! Q

 

h

! ! ! Q

 

in

! ! mc

P

(T

C

"

T

B

) ! 0.601 kJ

associated with disorder have far more possible microstates than those associated with
order.  For  example,  there  is  only  one  microstate  associated  with  the  macrostate  of
a royal  flush  in  a  poker  hand  of  five  spades,  laid  out  in  order  from  ten  to  ace
(Fig. 22.15a). This is a highly ordered hand. However, there are many microstates (the
set of five individual cards in a poker hand) associated with a worthless hand in poker
(Fig. 22.15b).

The probability of being dealt the royal flush in spades is exactly the same as the

probability  of  being  dealt  any  particular worthless  hand.  Because  there  are  so  many
worthless  hands,  however,  the  probability  of  a  macrostate  of  a  worthless  hand  is  far
larger than the probability of a macrostate of a royal flush in spades.

We  can  also  imagine  ordered  macrostates  and  disordered  macrostates  in  physical

processes,  not  just  in  games  of  dice  and  poker.  The  probability  of  a  system  moving  in
time from an ordered macrostate to a disordered macrostate is far greater than the prob-
ability of the reverse, because there are more microstates in a disordered macrostate.

If we consider a system and its surroundings to include the entire Universe, then

the Universe is always moving toward a macrostate corresponding to greater disor-
der.  Because  entropy  is  a  measure  of  disorder,  an  alternative  way  of  stating  this  is
the entropy of the Universe increases in all real processes. This is yet another
statement of the second law of thermodynamics that can be shown to be equivalent
to the Kelvin–Planck and Clausius statements.

The  original  formulation  of  entropy  in  thermodynamics  involves  the  transfer  of

energy by heat during a reversible process. Consider any infinitesimal process in which
a system changes from one equilibrium state to another. If dQ

r

is the amount of energy

transferred by heat when the system follows a reversible path between the states, then
the change in entropy dS is equal to this amount of energy for the reversible process
divided by the absolute temperature of the system:

(22.8)

We have assumed that the temperature is constant because the process is infinitesimal.
Because we have claimed that entropy is a state variable, 

the change in entropy dur-

ing a process depends only on the end points and therefore is independent of
the actual path followed. Consequently, the entropy change for an irreversible
process  can  be  determined  by  calculating  the  entropy  change  for  a  reversible
process that connects the same initial and final states.

The subscript r on the quantity dQ

r

is a reminder that the transferred energy is to

be  measured  along  a  reversible  path,  even  though  the  system  may  actually  have  fol-
lowed some irreversible path. When energy is absorbed by the system, dQ

r

is positive

and the entropy of the system increases. When energy is expelled by the system, dQ

r

is

negative and the entropy of the system decreases. Note that Equation 22.8 defines not
entropy but rather the change in entropy. Hence, the meaningful quantity in describing
a process is the change in entropy.

dS !

dQ

 

r

T

684

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

Figure 22.15 (a) A royal flush is a

highly ordered poker hand with low

probability of occurring.

(b) A disordered and worthless

poker hand. The probability of this

particular hand occurring is the same

as that of the royal flush. There are

so many worthless hands, however,

that the probability of being dealt a

worthless hand is much higher than

that of a royal flush.

Quick Quiz 22.5

Suppose that you select four cards at random from a stan-

dard  deck  of  playing  cards  and  end  up  with  a  macrostate  of  four  deuces.  How  many
microstates are associated with this macrostate? 

Quick Quiz 22.6

Suppose you pick up two cards at random from a standard

deck of playing cards and end up with a macrostate of two aces. How many microstates
are associated with this macrostate?

a and b George Semple

(a)

(b)