Physics For Scientists And Engineers 6E - part 170

S E C T I O N   2 2 . 4     •     The Carnot Engine

677

Hence, the thermal efficiency of a Carnot engine is

(22.6)

This result indicates that 

all Carnot engines operating between the same two tem-

peratures have the same efficiency.

5

Equation 22.6 can be applied to any working substance operating in a Carnot cycle

between  two  energy  reservoirs.  According  to  this  equation,  the  efficiency  is  zero  if
T

c

!

T

h

, as  one  would  expect.  The  efficiency  increases  as  T

c

is  lowered  and  as  T

h

is

raised. However, the efficiency can be unity (100%) only if T

c

!

0 K. Such reservoirs

are not available; thus, the maximum efficiency is always less than 100%. In most prac-
tical cases, T

c

is near room temperature, which is about 300 K. Therefore, one usually

strives to increase the efficiency by raising T

h

. Theoretically, a Carnot-cycle heat engine

run in reverse constitutes the most effective heat pump possible, and it determines the
maximum COP for a given combination of hot and cold reservoir temperatures. Using
Equations 22.1 and 22.3, we see that the maximum COP for a heat pump in its heating
mode is

The Carnot COP for a heat pump in the cooling mode is

As the difference between the temperatures of the two reservoirs approaches zero in
this expression, the theoretical COP approaches infinity. In practice, the low tempera-
ture of the cooling coils and the high temperature at the compressor limit the COP to
values below 10.

COP

C

 (cooling mode) !

T

c

T

h

"

T

c

 !

! Q

 

h

!

! Q

 

h

! " ! Q

 

c

!

!

1

1 "

! Q

 

c

!

! Q

 

h

!

!

1

1 "

T

c

T

h

!

T

h

T

h

"

T

c

COP

C

 (heating mode) !

!Q

 

h

 

!

W

e

 

C

!

1 "

T

c

T

h

5

In  order  for  the  processes  in  the  Carnot  cycle  to  be  reversible,  they  must  be  carried  out

infinitesimally  slowly.  Thus,  although  the  Carnot  engine  is  the  most  efficient  engine  possible,  it  has
zero power output, because it takes an infinite time interval to complete one cycle! For a real engine,
the  short  time  interval  for  each  cycle  results  in  the  working  substance  reaching  a  high  temperature
lower than that of the hot reservoir and a low temperature higher than that of the cold reservoir. An
engine undergoing a Carnot cycle between this narrower temperature range was analyzed by Curzon
and Ahlborn (Am. J. Phys., 43(1), 22, 1975), who found that the efficiency at maximum power output
depends  only  on  the  reservoir  temperatures  T

c

and  T

h

,  and  is  given  by  e

C - A

!

1 " (T

c

/T

h

)

1/2

.  The

Curzon–Ahlborn efficiency e

C-A

provides a closer approximation to the efficiencies of real engines than

does the Carnot efficiency.

Efficiency of a Carnot engine

Quick  Quiz  22.4

Three  engines  operate  between  reservoirs  separated  in

temperature  by  300 K.  The  reservoir  temperatures  are  as  follows:  Engine  A:
T

h

!

1 000 K, T

c

!

700 K; Engine B: T

h

!

800 K, T

c

!

500 K ; Engine C: T

h

!

600 K,

T

c

!

300 K.  Rank  the  engines  in  order  of  theoretically  possible  efficiency,  from

highest to lowest.

678

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

Example 22.3 Efficiency of the Carnot Engine

Show  that  the  efficiency  of  a  heat  engine  operating  in  a
Carnot cycle using an ideal gas is given by Equation 22.6.

Solution During the isothermal expansion (process A : B
in Fig. 22.10), the temperature of the gas does not change.
Thus, its internal energy remains constant. The work done
on a gas during an isothermal process is given by Equation
20.13. According to the first law,

In  a  similar  manner,  the  energy  transferred  to  the  cold
reservoir during the isothermal compression C : D is

Dividing the second expression by the first, we find that

We now show that the ratio of the logarithmic quantities is
unity by establishing a relationship between the ratio of vol-
umes.  For  any  quasi-static,  adiabatic  process,  the  tempera-
ture and volume are related by Equation 21.20:

(1)

     

! Q

 

c

!

! Q

 

h

 

!

!

T

c

T

h

 

ln(V

C

/V

D

)

ln(V

B

/V

A

)

! Q

 

c

! ! ! "W

CD

! ! nRT

c

 ln 

V

C

V

D

! Q

 

h

! ! ! "W

AB

! ! nRT

h

 ln

 

V

B

V

A

Applying  this  result  to  the  adiabatic  processes  B : C and
D : A, we obtain

Dividing the first equation by the second, we obtain

Substituting  Equation  (2)  into  Equation  (1),  we  find  that
the logarithmic terms cancel, and we obtain the relationship

Using this result and Equation 22.2, we see that the thermal
efficiency of the Carnot engine is

which is Equation 22.6, the one we set out to prove.

e

 

C

!

1 "

! Q

 

c

!

! Q

 

h

!

!

1 "

T

c

T

h

! Q

 

c

!

! Q

 

h

!

!

T

c

T

h

(2)

     

V

B

V

A

!

V

C

V

D

(V

B

/V

A

)

* "

1

!

(V

C

/V

D

)

* "

1

T

h

V

A

 

* "

1

!

T

c

V

D

 

* "

1

T

h

V

B

 

* "

1

!

T

c

V

C

 

* "

1

T

i

V

i

 

* "

1

!

T

f

V

f

 

* "

1

Example 22.4 The Steam Engine

A  steam  engine  has  a  boiler  that  operates  at  500 K.  The
energy from the burning fuel changes water to steam, and
this  steam  then  drives  a  piston.  The  cold  reservoir’s  tem-
perature  is  that  of  the  outside  air,  approximately  300 K.
What  is  the  maximum  thermal  efficiency  of  this  steam
engine?

Solution Using Equation 22.6, we find that the maximum
thermal  efficiency  for  any  engine  operating  between  these
temperatures is

or

You should note that this is the highest theoretical efficiency
of  the  engine.  In  practice,  the  efficiency  is  considerably
lower.

What If?

Suppose we wished to increase the theoretical ef-

ficiency of this engine and we could do so by increasing T

h

by

40.0%

0.400

e

 

C

!

1 "

T

c

T

h

!

1 "

300 K
500 K

!

%

T or by decreasing T

c

by the same %T. Which would be more

effective?

Answer A given %T would have a larger fractional effect on
a smaller temperature, so we would expect a larger change
in efficiency if we alter T

c

by %T. Let us test this numerically.

Increasing T

h

by 50 K, corresponding to T

h

!

550 K, would

give a maximum efficiency of

Decreasing T

c

by 50 K, corresponding to T

c

!

250 K, would

give a maximum efficiency of

While  changing  T

c

is  mathematically more  effective,  often

changing T

h

is practically more feasible.

e

 

C

!

1 "

T

c

T

h

!

1 "

250 K
500 K

!

0.500

e

 

C

!

1 "

T

c

T

h

!

1 "

300 K
550 K

!

0.455

Example 22.5 The Carnot Efficiency

The  highest  theoretical  efficiency  of  a  certain  engine  is
30.0%. If this engine uses the atmosphere, which has a tem-
perature of 300 K, as its cold reservoir, what is the tempera-
ture of its hot reservoir?

Solution We use the Carnot efficiency to find T

h

:

429 K

T

h

!

T

c

1 " e

 

C

!

300 K

1 " 0.300

!

e

 

C

!

1 "

T

c

T

h

S E C T I O N   2 2 . 5     •     Gasoline and Diesel Engines

679

22.5 Gasoline and Diesel Engines

In a gasoline engine, six processes occur in each cycle; five of these are illustrated in
Figure 22.12. In this discussion, we consider the interior of the cylinder above the pis-
ton to be the system that is taken through repeated cycles in the operation of the en-
gine. For a given cycle, the piston moves up and down twice. This represents a four-
stroke  cycle  consisting  of  two  upstrokes  and  two  downstrokes.  The  processes  in  the
cycle  can  be  approximated  by  the 

Otto  cycle,  shown  in  the  PV diagram  in  Figure

22.13. In the following discussion, refer to Figure 22.12 for the pictorial representation
of the strokes and to Figure 22.13 for the significance on the PV diagram of the letter
designations below:

1. During  the  intake  stroke  O : A (Fig.  22.12a),  the  piston  moves  downward,  and  a

gaseous mixture of air and fuel is drawn into the cylinder at atmospheric pressure.
In this process, the volume increases from V

2

to V

1

. This is the energy input part of

the cycle—energy enters the system (the interior of the cylinder) as potential en-
ergy stored in the fuel.

2. During  the  compression  stroke  A : B (Fig.  22.12b),  the  piston  moves  upward,  the

air–fuel mixture is compressed adiabatically from volume V

1

to volume V

2

, and the

temperature increases from T

A

to T

B

. The work done on the gas is positive, and its

value is equal to the negative of the area under the curve AB in Figure 22.13.

3. In process B : C, combustion occurs when the spark plug fires (Fig. 22.12c). This

is not one of the strokes of the cycle because it occurs in a very short period of time
while the piston is at its highest position. The combustion represents a rapid trans-
formation from potential energy stored in chemical bonds in the fuel to internal
energy associated with molecular motion, which is related to temperature. During
this time, the pressure and temperature in the cylinder increase rapidly, with the
temperature  rising  from  T

B

to  T

C

.  The  volume,  however,  remains  approximately

constant because of the short time interval. As a result, approximately no work is
done on or by the gas. We can model this process in the PV diagram (Fig. 22.13) as

Air

and

fuel

Spark plug

Piston

Intake

(a)

Compression

(b)

Spark

(c)

Power

(d)

Exhaust

Exhaust

(e)

Active Figure 22.12 The four-stroke cycle of a conventional gasoline engine. The

arrows on the piston indicate the direction of its motion during each process. (a) In

the intake stroke, air and fuel enter the cylinder. (b) The intake valve is then closed,

and the air–fuel mixture is compressed by the piston. (c) The mixture is ignited by the

spark plug, with the result that the temperature of the mixture increases at essentially

constant volume. (d) In the power stroke, the gas expands against the piston.

(e) Finally, the residual gases are expelled, and the cycle repeats.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can observe the motion of the

piston and crankshaft while you

also observe the cycle on the

PV diagram of Figure 22.13.

V

P

C

Q

h

B

D

T

C

Q

c

Adiabatic

processes

V

2

V

1

O

A

T

A

Active Figure 22.13 PV diagram

for the Otto cycle, which

approximately represents the

processes occurring in an internal

combustion engine.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you can

observe the Otto cycle on the

PV diagram while you observe

the motion of the piston and

crankshaft in Figure 22.12.

that  process  in  which  the  energy 

!Q

h

! enters  the  system.  (However,  in  reality  this

process is a conversion of energy already in the cylinder from process O : A.)

4. In the power stroke C : D (Fig. 22.12d), the gas expands adiabatically from V

2

to V

1

.

This expansion causes the temperature to drop from T

C

to T

D

. Work is done by the

gas in pushing the piston downward, and the value of this work is equal to the area
under the curve CD.

5. In the process D : A (not shown in Fig. 22.12), an exhaust valve is opened as the

piston reaches the bottom of its travel, and the pressure suddenly drops for a short
time interval. During this interval, the piston is almost stationary and the volume is
approximately  constant.  Energy  is  expelled  from  the  interior  of  the  cylinder  and
continues to be expelled during the next process.

6. In the final process, the exhaust stroke A : O (Fig. 22.12e), the piston moves upward

while the exhaust valve remains open. Residual gases are exhausted at atmospheric
pressure, and the volume decreases from V

1

to V

2

. The cycle then repeats.

If the air–fuel mixture is assumed to be an ideal gas, then the efficiency of the

Otto cycle is

(Otto cycle)

(22.7)

where  * is  the  ratio  of  the  molar  specific  heats  C

P

/C

V

for  the  fuel–air  mixture  and

V

1

/V

2

is  the 

compression  ratio. Equation  22.7,  which  we  derive  in  Example  22.6,

shows  that  the  efficiency  increases  as  the  compression  ratio  increases.  For  a  typical
compression ratio of 8 and with * ! 1.4, we predict a theoretical efficiency of 56% for
an engine operating in the idealized Otto cycle. This value is much greater than that
achieved in real engines (15% to 20%) because of such effects as friction, energy trans-
fer  by  conduction  through  the  cylinder  walls,  and  incomplete  combustion  of  the
air–fuel mixture.

Diesel  engines  operate  on  a  cycle  similar  to  the  Otto  cycle  but  do  not  employ  a

spark plug. The compression ratio for a diesel engine is much greater than that for a
gasoline engine. Air in the cylinder is compressed to a very small volume, and, as a con-
sequence, the cylinder temperature at the end of the compression stroke is very high.
At this point, fuel is injected into the cylinder. The temperature is high enough for the
fuel–air  mixture  to  ignite  without  the  assistance  of  a  spark  plug.  Diesel  engines  are
more efficient than gasoline engines because of their greater compression ratios and
resulting higher combustion temperatures.

e ! 1 "

1

(V

1

/V

2

)

*"

1

680

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

Example 22.6 Efficiency of the Otto Cycle

Show that the thermal efficiency of an engine operating in
an idealized Otto cycle (see Figs. 22.12 and 22.13) is given
by  Equation  22.7.  Treat  the  working  substance  as  an  ideal
gas.

Solution First,  let  us  calculate  the  work  done  on  the  gas
during each cycle. No work is done during processes B : C
and D : A. The work done on the gas during the adiabatic
compression  A : B is  positive,  and  the  work  done  on  the
gas  during  the  adiabatic  expansion  C : D is  negative.  The
value of the net work done equals the area of the shaded re-
gion bounded by the closed curve in Figure 22.13. Because
the change in internal energy for one cycle is zero, we see
from the first law that the net work done during one cycle
equals the net energy transfer to the system:

W

eng

!

! Q

 

h

! " ! Q

 

c

!

Because processes B : C and D : A take place at constant
volume, and because the gas is ideal, we find from the defin-
ition of molar specific heat (Eq. 21.8) that

Using these expressions together with Equation 22.2, we ob-
tain for the thermal efficiency

We  can  simplify  this  expression  by  noting  that  processes
A : B and  C : D are  adiabatic  and  hence  obey  Equation
21.20. For the two adiabatic processes, then,

C : D

 

:

   

T

C

V

C

 

*"

1 

!

T

D

V

D

 

*"

1

A : B

 

:

   

T

A

V

A

 

*"

1 

!

T

B

V

B

 

*"

1

(1)

     

e !

W

eng

! Q

 

h

!

!

1 "

! Q

 

c

!

! Q

 

h

!

!

1 "

T

D

"

T

A

T

C

"

T

B

! Q

 

h

! ! nC

V

 

(T

C

"

T

B

)

   

and

   

! Q

 

c

! ! nC

V

 

(T

D

"

T

A

)