Physics For Scientists And Engineers 6E - part 91

Answers to Quick Quizzes

361

Figure P11.56 Problems 56 and 57.

55.

A solid cube of side 2a and mass M is sliding on a friction-

less surface with uniform velocity v as in Figure P11.55a. It
hits a small obstacle at the end of the table, which causes
the  cube  to  tilt  as  in  Figure  P11.55b.  Find  the  minimum
value of v such that the cube falls off the table. Note that
the moment of inertia of the cube about an axis along one
of its edges is 8Ma

2

/3. (Hint: The cube undergoes an in-

elastic collision at the edge.)

Figure P11.55

56.

A  uniform  solid  disk  is  set  into  rotation  with  an  an-

gular speed )

i

about an axis through its center. While still

2a

ω

Mg

M

v

(a)

(b)

rotating at this speed, the disk is placed into contact with
a  horizontal  surface  and  released  as  in  Figure  P11.56.
(a) What  is  the  angular  speed  of  the  disk  once  pure
rolling takes place? (b) Find the fractional loss in kinetic
energy  from  the  time  the  disk  is  released  until  pure
rolling  occurs.  (Hint: Consider  torques  about  the  center
of mass.)

Suppose a solid disk of radius R is given an angular speed
)

i

about an axis through its center and then lowered to a

horizontal  surface  and  released,  as  in  Problem  56  (Fig.
P11.56).  Furthermore,  assume  that  the  coefficient  of  fric-
tion between disk and surface is 1. (a) Show that the time
interval  before  pure  rolling  motion  occurs  is  R)

i

/31g.

(b) Show  that  the  distance  the  disk  travels  before  pure
rolling occurs is R

2

)

i

2

/181g.

Answers to Quick Quizzes

11.1 (d). This result can be obtained by replacing B " A with

$

(A " B), according to Equation 11.4.

11.2 (d). Because  of  the  sin " function, 

"

A " B

"

is  either

equal to or smaller than AB, depending on the angle ".

11.3 (a). If  p and  r are  parallel  or  antiparallel,  the  angular

momentum  is  zero.  For  a  nonzero  angular  momentum,
the linear momentum vector must be offset from the rota-
tion axis.

11.4 (c). The angular momentum is the product of the linear

momentum and the perpendicular distance from the ro-
tation axis to the line along which the linear momentum
vector lies.

11.5 (b). The  hollow  sphere  has  a  larger  moment  of  inertia

than the solid sphere.

11.6 (a). The diver is an isolated system, so the product I) re-

mains constant. Because her moment of inertia decreases,
her angular speed increases.

11.7 (a). As the moment of inertia of the diver decreases, the

angular speed increases by the same factor. For example,
if I goes down by a factor of 2, ) goes up by a factor of 2.
The rotational kinetic energy varies as the square of ). If
I is halved, )

2

increases by a factor of 4 and the energy in-

creases by a factor of 2.

57.

362

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

▲

Balanced Rock in Arches National Park, Utah, is a 3 000 000-kg boulder that has been

in stable equilibrium for several millennia. It had a smaller companion nearby, called “Chip
Off the Old Block,” which fell during the winter of 1975. Balanced Rock appeared in an early
scene of the movie Indiana Jones and the Last Crusade. We will study the conditions under
which an object is in equilibrium in this chapter. (John W. Jewett, Jr.)

Static Equilibrium and Elasticity

Chapter 12

362

C H A P T E R   O U T L I N E

12.1 The Conditions for Equilibrium

12.2 More on the Center of Gravity

12.3 Examples of Rigid Objects in

Static Equilibrium

12.4 Elastic Properties of Solids

363

I

n Chapters 10 and 11 we studied the dynamics of rigid objects. Part of this current

chapter  addresses  the  conditions  under  which  a  rigid  object  is  in  equilibrium.  The
term  equilibrium implies  either  that  the  object  is  at  rest  or  that  its  center  of  mass
moves with constant velocity relative to the observer. We deal here only with the for-
mer  case,  in  which  the  object  is  in  static  equilibrium.  Static  equilibrium  represents  a
common  situation  in  engineering  practice,  and  the  principles  it  involves  are  of
special interest to civil engineers, architects, and mechanical engineers. If you are an
engineering student, you will undoubtedly take an advanced course in statics in the
future.

The last section of this chapter deals with how objects deform under load condi-

tions. An elastic object returns to its original shape when the deforming forces are re-
moved. Several elastic constants are defined, each corresponding to a different type of
deformation.

12.1 The Conditions for Equilibrium

In  Chapter  5  we  found  that  one  necessary  condition  for  equilibrium  is  that  the  net
force acting on an object must be zero. If the object is modeled as a particle, then this
is the only condition that must be satisfied for equilibrium. The situation with real (ex-
tended) objects is more complex, however, because these objects often cannot be mod-
eled as particles. For an extended object to be in static equilibrium, a second condition
must  be  satisfied.  This  second  condition  involves  the  net  torque  acting  on  the  ex-
tended object.

Consider  a  single  force 

F acting  on  a  rigid  object,  as  shown  in  Figure  12.1.  The

effect  of  the  force  depends  on  the  location  of  its  point  of  application  P.  If 

r is  the

position vector of this point relative to O, the torque associated with the force 

F about

O is given by Equation 11.1:

! !

r " F

Recall from the discussion of the vector product in Section 11.1 that the vector ! is per-
pendicular to the plane formed by 

r and F. You can use the right-hand rule to deter-

mine  the  direction  of  ! as  shown  in  Figure  11.2.  Hence,  in  Figure  12.1  ! is  directed
toward you out of the page.

As you can see from Figure 12.1, the tendency of 

F to rotate the object about an

axis  through  O depends  on  the  moment  arm  d,  as  well  as  on  the  magnitude  of 

F.

Recall that the magnitude of ! is 

Fd (see Eq. 10.19). According to Equation 10.21, the

net torque on a rigid object will cause it to undergo an angular acceleration.

In  the  current  discussion,  we  want  to  look  at  those  rotational  situations  in  which

the angular acceleration of a rigid object is zero. Such an object is in 

rotational equi-

librium. Because !! ! I" for rotation about a fixed axis, the necessary condition for
rotational equilibrium is that 

the net torque about any axis must be zero. We now

F

θ

P

r

d

O

Figure 12.1 A single force F acts

on a rigid object at the point P.

364

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

have two necessary conditions for equilibrium of an object:

1. The resultant external force must equal zero:

(12.1)

2. The resultant external torque about any axis must be zero:

(12.2)

The first condition is a statement of translational equilibrium; it tells us that the linear
acceleration of the center of mass of the object must be zero when viewed from an iner-
tial reference frame. The second condition is a statement of rotational equilibrium and
tells us that the angular acceleration about any axis must be zero. In the special case of
static equilibrium, which is the main subject of this chapter, the object is at rest rela-
tive to the observer and so has no linear or angular speed (that is, v

CM

!

0 and # ! 0).

!

 

! !

0

!

 

F ! 0

The two vector expressions given by Equations 12.1 and 12.2 are equivalent, in gen-

eral, to six scalar equations: three from the first condition for equilibrium, and three
from the second (corresponding to x, y, and z components). Hence, in a complex sys-
tem involving several forces acting in various directions, you could be faced with solv-
ing a set of equations with many unknowns. Here, we restrict our discussion to situa-
tions in which all the forces lie in the xy plane. (Forces whose vector representations
are in the same plane are said to be coplanar.) With this restriction, we must deal with
only three scalar equations. Two of these come from balancing the forces in the x and
y directions. The third comes from the torque equation—namely, that the net torque
about a perpendicular axis through any point in the xy plane must be zero. Hence, the
two conditions of equilibrium provide the equations

(12.3)

where the location of the axis of the torque equation is arbitrary, as we now show.

Regardless  of  the  number  of  forces  that  are  acting,  if  an  object  is  in  translational

equilibrium and if the net torque is zero about one axis, then the net torque must also
be zero about any other axis. The axis can pass through a point that is inside or outside
the boundaries of the object. Consider an object being acted on by several forces such
that the resultant force 

F ! F

1

$

F

2

$

F

3

$ % % % !

0. Figure 12.4 describes this situa-

tion (for clarity, only four forces are shown). The point of application of 

F

1

relative to O

is specified by the position vector 

r

1

. Similarly, the points of application of 

F

2

, 

F

3

, . . .

are specified by 

r

2

, 

r

3

, . . . (not shown). The net torque about an axis through O is

Now consider another arbitrary point O& having a position vector 

r& relative to O.

The point of application of 

F

1

relative to O& is identified by the vector 

r

1

'

r&. Like-

!

 

!

O

!

r

1

"

F

1

$

r

2

"

F

2

$

r

3

"

F

3

$

 % % %

!

!

 

F

x

!

0

   

!

 

F

y

!

0

   

!

 

(

z

!

0

▲

PITFALL PREVENTION

12.1 Zero Torque

Zero  net  torque  does  not  mean
an  absence  of  rotational  motion.
An  object  which  is  rotating  at  a
constant  angular  speed  can  be
under  the  influence  of  a  net
torque of zero. This is analogous
to  the  translational  situation—
zero net force does not mean an
absence  of  translational  motion.

Quick  Quiz  12.1

Consider  the  object  subject  to  the  two  forces  in  Figure

12.2.  Choose  the  correct  statement  with  regard  to  this  situation.  (a)  The  object  is  in
force equilibrium but not torque equilibrium. (b) The object is in torque equilibrium
but  not  force  equilibrium.  (c)  The  object  is  in  both  force  and  torque  equilibrium.
(d) The object is in neither force nor torque equilibrium.

Quick Quiz 12.2

Consider the object subject to the three forces in Figure

12.3.  Choose  the  correct  statement  with  regard  to  this  situation.  (a)  The  object  is  in
force equilibrium but not torque equilibrium. (b) The object is in torque equilibrium
but  not  force  equilibrium.  (c)  The  object  is  in  both  force  and  torque  equilibrium.
(d) The object is in neither force nor torque equilibrium.

F

d

d

CM

–

 

F

Figure 12.2 (Quick Quiz 12.1)

Two forces of equal magnitude are

applied at equal distances from the

center of mass of a rigid object.

Figure 12.3 (Quick Quiz 12.2)

Three forces act on an object. No-

tice that the lines of action of all

three forces pass through a com-

mon point.

F

1

F

2

F

3