Physics For Scientists And Engineers 6E - part 89

Questions

353

1. Is it possible to calculate the torque acting on a rigid ob-

ject without specifying an axis of rotation? Is the torque in-
dependent of the location of the axis of rotation?

2. Is  the  triple  product  defined  by  A # (B " C)  a  scalar  or  a

vector quantity? Explain why the operation (A # B) " C has
no meaning.

3. Vector  A is  in  the  negative  y direction,  and  vector  B is

in the  negative  x direction.  What  are  the  directions  of
(a) A " B (b) B " A?

4. If a single force acts on an object and the torque caused by

the force is nonzero about some point, is there any other
point about which the torque is zero?

5. Suppose that the vector velocity of a particle is completely

specified. What can you conclude about the direction of its
angular momentum vector with respect to the direction of
motion?

6. If a system of particles is in motion, is it possible for the total

angular momentum to be zero about some origin? Explain.

7. If the torque acting on a particle about a certain origin is

zero, what can you say about its angular momentum about
that origin?

8. A ball is thrown in such a way that it does not spin about its

own  axis.  Does  this  mean  that  the  angular  momentum  is
zero about an arbitrary origin? Explain.

9. For a helicopter to be stable as it flies, it must have at least

two propellers. Why?

10. A  particle  is  moving  in  a  circle  with  constant  speed.

Locate  one  point  about  which  the  particle’s  angular
momentum is constant and another point about which it
changes in time.

Why  does  a  long  pole  help  a  tightrope  walker  stay
balanced?

12. Often when a high diver wants to turn a flip in midair, she

draws  her  legs  up  against  her  chest.  Why  does  this  make
her  rotate  faster?  What  should  she  do  when  she  wants  to
come out of her flip?

13. In some motorcycle races, the riders drive over small hills,

and the motorcycle becomes airborne for a short time. If
the motorcycle racer keeps the throttle open while leaving
the  hill  and  going  into  the  air,  the  motorcycle  tends  to
nose upward. Why does this happen?

14. Stars  originate  as  large  bodies  of  slowly  rotating  gas.  Be-

cause of gravitation, these clumps of gas slowly decrease in
size.  What  happens  to  the  angular  speed  of  a  star  as  it
shrinks? Explain.

If global warming occurs over the next century, it is likely
that some polar ice will melt and the water will be distrib-
uted closer to the Equator. How would this change the mo-
ment of inertia of the Earth? Would the length of the day
(one revolution) increase or decrease?

16. A  mouse  is  initially  at  rest  on  a  horizontal  turntable

mounted  on  a  frictionless  vertical  axle.  If  the  mouse

15.

11.

Q U E S T I O N S

The 

net external torque acting on a system is equal to the time rate of change of

its angular momentum:

(11.13)

The z component of 

angular momentum of a rigid object rotating about a fixed

z axis is

L

z

#

I)

(11.14)

where I is the moment of inertia of the object about the axis of rotation and ) is its an-
gular speed.

The 

net external torque acting on a rigid object equals the product of its moment

of inertia about the axis of rotation and its angular acceleration:

(11.16)

If the net external torque acting on a system is zero, then the total angular momen-

tum of the system is constant:

L

i

#

L

f

(11.18)

Applying this 

law of conservation of angular momentum to a system whose moment

of inertia changes gives

I

i

)

i

#

I

f

)

f

#

constant

(11.19)

#

 

!

ext

#

I*

#

 

!

ext

#

d

L

tot

dt

354

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

begins to walk clockwise around the perimeter, what hap-
pens to the turntable? Explain.

17. A  cat  usually  lands  on  its  feet  regardless  of  the  position

from  which  it  is  dropped.  A  slow-motion  film  of  a  cat
falling shows that the upper half of its body twists in one
direction while the lower half twists in the opposite direc-
tion. (See Figure Q11.17.) Why does this type of rotation
occur?

18. As  the  cord  holding  a  tether  ball  winds  around  a  thin

pole,  what  happens  to  the  angular  speed  of  the  ball? 
Explain.

19. If  you  toss  a  textbook  into  the  air,  rotating  it  each  time

about one of the three axes perpendicular to the textbook,
you will find that it will not rotate smoothly about one of
these axis. (Try placing a strong rubber band around the
book  before  the  toss  so  it  will  stay  closed.)  Its  rotation  is
stable about those axes having the largest and smallest mo-
ment of inertia but unstable about the axis of intermediate
moment. Try this on your own to find the axis that has this
intermediate moment.

20. A  scientist  arriving  at  a  hotel  asks  a  bellhop  to  carry  a

heavy suitcase. When the bellhop rounds a corner, the suit-
case  suddenly  swings  away  from  him  for  some  unknown
reason. The alarmed bellhop drops the suitcase and runs
away. What might be in the suitcase?

Section 11.1 The Vector Product and Torque

1. Given  M # 6

ˆi

%

2

ˆj

$

ˆk

and  N # 2

ˆi

$

ˆj

$

3

ˆk

,  calculate

the vector product M " N.

2. The  vectors  42.0  cm  at  15.0° and  23.0  cm  at  65.0° both

start  from  the  origin.  Both  angles  are  measured  counter-
clockwise from the x axis. The vectors form two sides of a
parallelogram.  (a)  Find  the  area  of  the  parallelogram.
(b) Find the length of its longer diagonal.

Two  vectors  are  given  by  A # $ 3

ˆi

%

4

ˆj 

and

B # 2

ˆi

%

3

ˆj

.  Find  (a)  A " B and  (b)  the  angle  between

A and B.

4. Two  vectors  are  given  by  A # $ 3

ˆi

%

7

ˆj

$

4

ˆk 

and

B # 6

ˆi

$

10

ˆj

%

9

ˆk

. 

Evaluate 

the 

quantities 

(a)

cos

$

1

[A # B/AB]  and  (b) sin

$

1

[

"A " B"/AB].  (c)  Which

give(s) the angle between the vectors?

5. The wind exerts on a flower the force 0.785 N horizontally

to the east. The stem of the flower is 0.450 m long and tilts
toward the east, making an angle of 14.0° with the vertical.
Find the vector torque of the wind force about the base of
the stem.

6.

A  student  claims  that  she  has  found  a  vector  A such  that

(2

ˆi

$

3

ˆj

%

4

ˆk

) " A = (4

ˆi

%

3

ˆj

$

ˆk

).  Do  you  believe  this

claim? Explain.

3.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com 

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

If 

"A " B" # A # B, what is the angle between A and B?

8. A particle is located at the vector position r # (

ˆi

%

3

ˆj

) m,

and the force acting on it is F # (3

ˆi % 2ˆj) N

. What is the

torque about (a) the origin and (b) the point having coor-
dinates (0, 6) m?

9.

Two forces F

1

and F

2

act along the two sides of an equilateral

triangle as shown in Figure P11.9. Point O is the intersection
of  the  altitudes  of  the  triangle.  Find  a  third  force  F

3

to  be

applied  at  B and  along  BC that  will  make  the  total  torque

7.

A

C

D

O

F

1

F

2

B

F

3

Figure P11.9

Figure Q11.17

Gerard Lacz/NHP

A

Problems

355

zero  about  the  point  O.  What  If?  Will  the  total  torque
change if F

3 

is applied not at B but at any other point along

BC ?

10. Use the definition of the vector product and the definitions

of the unit vectors 

ˆi

, 

ˆj

, and

ˆk

to prove Equations 11.7. You

may assume that the x axis points to the right, the y axis up,
and the z axis toward you (not away from you). This choice
is said to make the coordinate system right-handed.

Section 11.2 Angular Momentum

A light rigid rod 1.00 m in length joins two particles, with
masses 4.00 kg and 3.00 kg, at its ends. The combination
rotates in the xy plane about a pivot through the center of
the rod (Fig. P11.11). Determine the angular momentum
of the system about the origin when the speed of each par-
ticle is 5.00 m/s.

11.

P11.14. During the motion, the supporting wire of length
"

maintains  the  constant  angle  " with  the  vertical.  Show

that the magnitude of the angular momentum of the bob
about the center of the circle is

15.

A particle of mass m moves in a circle of radius R at a con-

stant  speed  v,  as  shown  in  Figure  P11.15.  If  the  motion
begins  at  point  Q at  time  t # 0,  determine  the  angular
momentum of the particle about point P as a function of
time.

L #

$

m

2

g

 

"

3 

sin

4 

"

cos "

%

1/2

12. A  1.50-kg  particle  moves  in  the  xy plane  with  a  velocity

of v # (4.20

ˆi

$

3.60

ˆj

) m/s.  Determine  the  angular  mo-

mentum  of  the  particle  when  its  position  vector  is
r # (1.50

ˆi

%

2.20

ˆj

) m.

The position vector of a particle of mass 2.00 kg is given

as a function of time by r # (6.00

ˆi

%

5.00t

ˆj

) m. Determine

the angular momentum of the particle about the origin, as a
function of time.

14.

A conical pendulum consists of a bob of mass m in motion

in a circular path in a horizontal plane as shown in Figure

13.

x

1.00 m

3.00

kg

4.00

kg

v

v

y

Figure P11.11

Figure P11.14

16.

A  4.00-kg  counterweight  is  attached  to  a  light  cord,

which is wound around a spool (refer to Fig. 10.20). The
spool  is  a  uniform  solid  cylinder  of  radius  8.00 cm  and
mass  2.00 kg.  (a)  What  is  the  net  torque  on  the  system
about  the  point  O?  (b)  When  the  counterweight  has  a
speed v, the pulley has an angular speed ) # v/R. Deter-
mine  the  total  angular  momentum  of  the  system  about
O.  (c)  Using  the  fact  that  ! # d L/dt and  your  result
from  (b),  calculate  the  acceleration  of  the  counter-
weight.

A particle of mass m is shot with an initial velocity v

i

mak-

ing  an  angle  " with  the  horizontal  as  shown  in  Figure
P11.17. The particle moves in the gravitational field of the
Earth. Find the angular momentum of the particle about
the origin when the particle is (a) at the origin, (b) at the
highest point of its trajectory, and (c) just before it hits the
ground. (d) What torque causes its angular momentum to
change?

17.

"

m

θ

Figure P11.15

m

R

v

y

x

Q

P

Figure P11.17

v

i

θ

v

2

v

1

 = v

xi

i

O

R

356

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

18. Heading straight toward the summit of Pike’s Peak, an air-

plane of mass 12 000 kg flies over the plains of Kansas at
nearly  constant  altitude  4.30  km,  with  a  constant  velocity
of 175 m/s west. (a) What is the airplane’s vector angular
momentum  relative  to  a  wheat  farmer  on  the  ground  di-
rectly  below  the  airplane?  (b)  Does  this  value  change  as
the  airplane  continues  its  motion  along  a  straight  line?
(c) What If? What is its angular momentum relative to the
summit of Pike’s Peak?

19.

A  ball  having  mass  m is  fastened  at  the  end  of  a  flagpole

that is connected to the side of a tall building at point P
shown  in  Figure  P11.19.  The  length  of  the  flagpole  is  "
and  it  makes  an  angle  " with  the  horizontal.  If  the  ball
becomes  loose  and  starts  to  fall,  determine  the  angular
momentum (as a function of time) of the ball about point
P. Neglect air resistance.

24. Big  Ben  (Figure  P10.40),  the  Parliament  Building  tower

clock in London, has hour and minute hands with lengths
of  2.70 m  and  4.50 m  and  masses  of  60.0 kg  and  100 kg,
respectively.  Calculate  the  total  angular  momentum  of
these  hands  about  the  center  point.  Treat  the  hands  as
long, thin uniform rods.

A  particle  of  mass  0.400  kg  is  attached  to  the  100-cm
mark of a meter stick of mass 0.100 kg. The meter stick
rotates on a horizontal, frictionless table with an angular
speed of 4.00 rad/s. Calculate the angular momentum of
the  system  when  the  stick  is  pivoted  about  an  axis
(a) perpendicular to the table through the 50.0-cm mark
and  (b)  perpendicular  to  the  table  through  the  0-cm
mark.

26.

The distance between the centers of the wheels of a motor-

cycle is 155 cm. The center of mass of the motorcycle, in-
cluding  the  biker,  is  88.0 cm  above  the  ground  and
halfway  between  the  wheels.  Assume  the  mass  of  each
wheel  is  small  compared  to  the  body  of  the  motorcycle.
The engine drives the rear wheel only. What horizontal ac-
celeration of the motorcycle will make the front wheel rise
off the ground?

27. A space station is constructed in the shape of a hollow ring

of  mass  5.00 ' 10

4

kg.  Members  of  the  crew  walk  on  a

deck formed by the inner surface of the outer cylindrical
wall  of  the  ring,  with  radius  100  m.  At  rest  when  con-
structed, the ring is set rotating about its axis so that the
people inside experience an effective free-fall acceleration
equal  to  g.  (Figure  P11.27  shows  the  ring  together  with
some  other  parts  that  make  a  negligible  contribution  to
the total moment of inertia.) The rotation is achieved by
firing  two  small  rockets  attached  tangentially  to  opposite
points  on  the  outside  of  the  ring.  (a)  What  angular  mo-
mentum  does  the  space  station  acquire?  (b)  How  long
must the rockets be fired if each exerts a thrust of 125 N?
(c) Prove that the total torque on the ring, multiplied by
the time interval found in part (b), is equal to the change
in  angular  momentum,  found  in  part  (a).  This  equality
represents  the  angular  impulse–angular  momentum  theorem.

25.

Figure P11.27 Problems 27 and 36.

Figure P11.19

20.

A fireman clings to a vertical ladder and directs the noz-

zle  of  a  hose  horizontally  toward  a  burning  building.
The rate of water flow is 6.31 kg/s, and the nozzle speed
is 12.5 m/s. The hose passes vertically between the fire-
man’s  feet,  which  are  1.30  m  below  the  nozzle.  Choose
the  origin  to  be  inside  the  hose  between  the  fireman’s
feet.  What  torque  must  the  fireman  exert  on  the  hose?
That  is,  what  is  the  rate  of  change  of  the  angular
momentum of the water?

Section 11.3 Angular Momentum of a Rotating 

Rigid Object

21. Show that the kinetic energy of an object rotating about a

fixed axis with angular momentum L # I) can be written
as K # L

2

/2I.

22. A uniform solid sphere of radius 0.500 m and mass 15.0 kg

turns  counterclockwise  about  a  vertical  axis  through  its
center. Find its vector angular momentum when its angu-
lar speed is 3.00 rad/s.

23. A  uniform  solid  disk  of  mass  3.00  kg  and  radius  0.200  m

rotates  about  a  fixed  axis  perpendicular  to  its  face.  If
the angular  frequency  of  rotation  is  6.00  rad/s,  calculate
the  angular  momentum  of  the  disk  when  the  axis  of
rotation  (a)  passes  through  its  center  of  mass  and 
(b) passes through a point midway between the center and
the rim.

m

"

θ

P