Physics For Scientists And Engineers 6E - part 90

Problems

357

Section 11.4 Conservation of Angular Momentum

28. A cylinder with moment of inertia I

1

rotates about a verti-

cal, frictionless axle with angular speed )

i

. A second cylin-

der, this one having moment of inertia I

2

and initially not

rotating,  drops  onto  the  first  cylinder  (Fig.  P11.28).  Be-
cause of friction between the surfaces, the two eventually
reach  the  same  angular  speed  )

f

.  (a)  Calculate  )

f

.

(b) Show that the kinetic energy of the system decreases in
this interaction, and calculate the ratio of the final to the
initial rotational energy.

stant. The student pulls the weights inward horizontally to
a position 0.300 m from the rotation axis. (a) Find the new
angular speed of the student. (b) Find the kinetic energy
of the rotating system before and after he pulls the weights
inward.

31.

A uniform rod of mass 100 g and length 50.0 cm rotates in

a  horizontal  plane  about  a  fixed,  vertical,  frictionless  pin
through  its  center.  Two  small  beads,  each  of  mass 
30.0 g,  are  mounted  on  the  rod  so  that  they  are  able  to
slide  without  friction  along  its  length.  Initially  the  beads
are  held  by  catches  at  positions  10.0 cm  on  each  side  of
center, at which time the system rotates at an angular speed
of  20.0 rad/s.  Suddenly,  the  catches  are  released  and  the
small beads slide outward along the rod. (a) Find the angu-
lar speed of the system at the instant the beads reach the
ends  of  the  rod.  (b)  What  if the  beads  fly  off  the  ends?
What is the angular speed of the rod after this occurs?

32.

An  umbrella  consists  of  a  circle  of  cloth,  a  thin  rod  with
the handle at one end and the center of the cloth at the
other end, and several straight uniform ribs hinged to the
top  end  of  the  rod  and  holding  the  cloth  taut.  With  the
ribs perpendicular to the rod, the umbrella is set rotating
about  the  rod  with  an  angular  speed  of  1.25 rad/s.  The
cloth is so light and the rod is so thin that they make negli-
gible contributions to the moment of inertia, in compari-
son to the ribs. The spinning umbrella is balanced on its
handle  and  keeps  rotating  without  friction.  Suddenly  its
latch  breaks  and  the  umbrella  partly  folds  up,  until  each
rib makes an angle of 22.5° with the rod. What is the final
angular speed of the umbrella?

A  60.0-kg  woman  stands  at  the  rim  of  a  horizontal

turntable having a moment of inertia of 500 kg · m

2

and a

radius  of  2.00 m.  The  turntable  is  initially  at  rest  and  is
free to rotate about a frictionless, vertical axle through its
center.  The  woman  then  starts  walking  around  the  rim
clockwise (as viewed from above the system) at a constant
speed of 1.50 m/s relative to the Earth. (a) In what direc-
tion  and  with  what  angular  speed  does  the  turntable
rotate? (b) How much work does the woman do to set her-
self and the turntable into motion?

34.

A puck of mass 80.0 g and radius 4.00 cm slides along an

air  table  at  a  speed  of  1.50 m/s  as  shown  in  Figure
P11.34a. It makes a glancing collision with a second puck
of  radius  6.00 cm  and  mass  120 g  (initially  at  rest)  such
that  their  rims  just  touch.  Because  their  rims  are  coated
with instant-acting glue, the pucks stick together and spin
after the collision (Fig. P11.34b). (a) What is the angular
momentum  of  the  system  relative  to  the  center  of  mass?
(b) What is the angular speed about the center of mass?

33.

Figure P11.28

Figure P11.30

I

2

ω

i

ω

f

I

1

Before

After

ω

ω

(a)

(b)

ω

i

ω

ω

f

ω

29. A playground merry-go-round of radius R # 2.00 m has a

moment  of  inertia  I # 250  kg · m

2

and  is  rotating  at

10.0 rev/min about a frictionless vertical axle. Facing the
axle,  a  25.0-kg  child  hops  onto  the  merry-go-round  and
manages to sit down on the edge. What is the new angular
speed of the merry-go-round?

30.

A  student  sits  on  a  freely  rotating  stool  holding  two

weights,  each  of  mass  3.00  kg  (Figure  P11.30).  When  his
arms  are  extended  horizontally,  the  weights  are  1.00  m
from  the  axis  of  rotation  and  he  rotates  with  an  angular
speed  of  0.750 rad/s.  The  moment  of  inertia  of  the  stu-
dent  plus  stool  is  3.00  kg · m

2

and  is  assumed  to  be  con-

Figure P11.34

(b)

(a)

1.50 m/s

358

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

Figure P11.37

Figure P11.35

moment when the sign is vertical and moving to the left, a
snowball of mass 400 g, traveling horizontally with a veloc-
ity  of  160 cm/s  to  the  right,  strikes  perpendicularly  the
lower  edge  of  the  sign  and  sticks  there.  (a)  Calculate  the 
angular  speed  of  the  sign  immediately  before  the  impact.
(b)  Calculate  its  angular  speed  immediately  after  the  im-
pact.  (c)  The  spattered  sign  will  swing  up  through  what
maximum angle?

39.

Suppose  a  meteor  of  mass  3.00 ' 10

13

kg,  moving  at

30.0 km/s  relative  to  the  center  of  the  Earth,  strikes  the
Earth.  What  is  the  order  of  magnitude  of  the  maximum
possible decrease in the angular speed of the Earth due to
this collision? Explain your answer.

Section 11.5 The Motion of Gyroscopes and Tops

40.

A spacecraft is in empty space. It carries on board a gyro-

scope with a moment of inertia of I

g

#

20.0 kg & m

2

about

the  axis  of  the  gyroscope.  The  moment  of  inertia  of  the
spacecraft around the same axis is I

s

#

5.00 ' 10

5

kg & m

2

.

Neither  the  spacecraft  nor  the  gyroscope  is  originally  ro-
tating.  The  gyroscope  can  be  powered  up  in  a  negligible
period of time to an angular speed of 100 s

$

1

. If the orien-

tation of the spacecraft is to be changed by 30.0°, for how
long should the gyroscope be operated?

41.

The angular momentum vector of a precessing gyroscope

sweeps out a cone, as in Figure 11.14b. Its angular speed,
called  its  precessional  frequency,  is  given  by  )

p

#

+

/L,

where + is the magnitude of the torque on the gyroscope
and L is the magnitude of its angular momentum. In the
motion called precession of the equinoxes, the Earth’s axis of
rotation  precesses  about  the  perpendicular  to  its  orbital
plane with a period of 2.58 ' 10

4

yr. Model the Earth as a

uniform sphere and calculate the torque on the Earth that
is causing this precession.

Section 11.6 Angular Momentum as a Fundamental

Quantity

42.

In  the  Bohr  model  of  the  hydrogen  atom,  the  electron

moves in a circular orbit of radius 0.529 ' 10

$

10

m around

the proton. Assuming the orbital angular momentum of the
electron is equal to h/2,, calculate (a) the orbital speed of
the  electron,  (b)  the  kinetic  energy  of  the  electron,  and
(c) the angular frequency of the electron’s motion.

Additional Problems

43.

We have all complained that there aren’t enough hours in

a day. In an attempt to change that, suppose that all the
people  in  the  world  line  up  at  the  equator,  and  all  start
running  east  at  2.50 m/s  relative  to  the  surface  of  the
Earth. By how much does the length of a day increase? As-
sume that the world population is 5.50 ' 10

9

people with

an  average  mass  of  70.0 kg  each,  and  that  the  Earth  is  a
solid homogeneous sphere. In addition, you may use the
approximation 1/(1 $ x)

& 1 % x for small x.

44.

A skateboarder with his board can be modeled as a particle

of mass 76.0 kg, located at his center of mass. As shown in
Figure P8.67 on page 248, the skateboarder starts from rest
in a crouching position at one lip of a half-pipe (point !).
The half-pipe forms one half of a cylinder of radius 6.80 m

A wooden block of mass M resting on a frictionless horizon-
tal surface is attached to a rigid rod of length " and of neg-
ligible mass (Fig. P11.35). The rod is pivoted at the other
end. A bullet of mass m traveling parallel to the horizontal
surface and perpendicular to the rod with speed v hits the
block and becomes embedded in it. (a) What is the angular
momentum  of  the  bullet–block  system?  (b) What  fraction
of the original kinetic energy is lost in the collision?

35.

36.

A space station shaped like a giant wheel has a radius of

100  m  and  a  moment  of  inertia  of  5.00 ' 10

8

kg · m

2

.  A

crew of 150 is living on the rim, and the station’s rotation
causes the crew to experience an apparent free-fall accel-
eration of g (Fig. P11.27). When 100 people move to the
center  of  the  station  for  a  union  meeting,  the  angular
speed  changes.  What  apparent  free-fall  acceleration  is
experienced  by  the  managers  remaining  at  the  rim?  As-
sume that the average mass for each inhabitant is 65.0 kg.

37.

A wad of sticky clay with mass m and velocity v

i

is fired at a

solid  cylinder  of  mass  M  and  radius  R (Figure  P11.37).
The cylinder is initially at rest and is mounted on a fixed
horizontal axle that runs through its center of mass. The
line  of  motion  of  the  projectile  is  perpendicular  to  the
axle and at a distance d - R from the center. (a) Find the
angular speed of the system just after the clay strikes and
sticks  to  the  surface  of  the  cylinder.  (b)  Is  mechanical
energy  of  the  clay–cylinder  system  conserved  in  this
process? Explain your answer.

M

"

v

M

R

v

i

m

d

38.

A thin uniform rectangular sign hangs vertically above the

door of a shop. The sign is hinged to a stationary horizon-
tal  rod  along  its  top  edge.  The  mass  of  the  sign  is  2.40 kg
and  its  vertical  dimension  is  50.0 cm.  The  sign  is  swinging
without  friction,  becoming  a  tempting  target  for  children
armed  with  snowballs.  The  maximum  angular  displace-
ment of the sign is 25.0° on both sides of the vertical. At a

Problems

359

with  its  axis  horizontal.  On  his  descent,  the  skateboarder
moves  without  friction  and  maintains  his  crouch,  so  that
his center of mass moves through one quarter of a circle of
radius 6.30 m. (a) Find his speed at the bottom of the half-
pipe (point "). (b) Find his angular momentum about the
center of curvature. (c) Immediately after passing point ",
he stands up and raises his arms, lifting his center of gravity
from  0.500 m  to  0.950 m  above  the  concrete  (point  #).
Explain why his angular momentum is constant in this ma-
neuver, while his linear momentum and his mechanical en-
ergy are not constant. (d) Find his speed immediately after
he stands up, when his center of mass is moving in a quar-
ter  circle  of  radius  5.85 m.  (e) What  work  did  the  skate-
boarder’s  legs  do  on  his  body  as  he  stood  up?  Next,  the
skateboarder glides upward with his center of mass moving
in a quarter circle of radius 5.85 m. His body is horizontal
when  he  passes  point  $,  the  far  lip  of  the  half-pipe. 
(f) Find his speed at this location. At last he goes ballistic,
twisting  around  while  his  center  of  mass  moves  vertically.
(g) How high above point $ does he rise? (h) Over what
time interval is he airborne before he touches down, facing
downward and again in a crouch, 2.34 m below the level of
point  $?  (i)  Compare  the  solution  to  this  problem  with
the  solution  to  Problem  8.67.  Which  is  more  accurate?
Why?  (Caution:  Do  not  try  this  yourself  without  the  re-
quired  skill  and  protective  equipment,  or  in  a  drainage
channel to which you do not have legal access.)

45.

A  rigid,  massless  rod  has  three  particles  with  equal  masses

attached to it as shown in Figure P11.45. The rod is free to
rotate in a vertical plane about a frictionless axle perpendic-
ular  to  the  rod  through  the  point  P,  and  is  released  from
rest in the horizontal position at t # 0. Assuming m and d
are  known,  find  (a)  the  moment  of  inertia  of  the  system
(rod  plus  particles)  about  the  pivot,  (b)  the  torque  acting
on the system at t # 0, (c) the angular acceleration of the
system at t # 0, (d) the linear acceleration of the particle la-
beled 3 at t # 0, (e) the maximum kinetic energy of the sys-
tem, (f) the maximum angular speed reached by the rod,
(g)  the  maximum  angular  momentum  of  the  system,  and
(h) the maximum speed reached by the particle labeled 2.

d

2d

3

m

m

m

P

d

1

2

3

Figure P11.45

block.  (a)  Find  the  torque  that  the  drive  motor  must 
provide as a function of time, while the block is sliding.
(b) Find the value of this torque at t # 440 s, just before
the sliding block finishes its motion. (c) Find the power
that  the  drive  motor  must  deliver  as  a  function  of  time.
(d) Find the value of the power when the sliding block is
just reaching the end of the slot. (e) Find the string ten-
sion as a function of time. (f) Find the work done by the
drive motor during the 440-s motion. (g) Find the work
done  by  the  string  brake  on  the  sliding  block.  (h) Find
the  total  work  on  the  system  consisting  of  the  disk  and
the sliding block.

Figure P11.46

A

B

47. Comet Halley moves about the Sun in an elliptical orbit, with

its  closest  approach  to  the  Sun  being  about  0.590 AU  and
its greatest  distance  35.0 AU  (1 AU # the  Earth–Sun  dis-
tance). If the comet’s speed at closest approach is 54.0 km/s,
what is its speed when it is farthest from the Sun? The angu-
lar momentum of the comet about the Sun is conserved, be-
cause no torque acts on the comet. The gravitational force
exerted by the Sun has zero moment arm.

48. A light rope passes over a light, frictionless pulley. One end

is fastened to a bunch of bananas of mass M, and a monkey
of mass M clings to the other end (Fig. P11.48). The mon-

Figure P11.48

M

M

46.

A 100-kg uniform horizontal disk of radius 5.50 m turns

without  friction  at  2.50 rev/s  on  a  vertical  axis  through 
its  center,  as  in  Figure  P11.46.  A  feedback  mechanism
senses  the  angular  speed  of  the  disk,  and  a  drive  motor 
at  A maintains  the  angular  speed  constant  while  a 
1.20 kg  block  on  top  of  the  disk  slides  outward  in  a  ra-
dial  slot.  The  1.20-kg  block  starts  at  the  center  of  the 
disk  at  time  t # 0  and  moves  outward  with  constant 
speed  1.25 cm/s  relative  to  the  disk  until  it  reaches  the
edge at t # 440 s. The sliding block feels no friction. Its
motion is constrained to have constant radial speed by a
brake at B, producing tension in a light string tied to the

360

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

key  climbs  the  rope  in  an  attempt  to  reach  the  bananas.
(a) Treating  the  system  as  consisting  of  the  monkey,  ba-
nanas, rope, and pulley, evaluate the net torque about the
pulley axis. (b) Using the results of (a), determine the total
angular momentum about the pulley axis and describe the
motion of the system. Will the monkey reach the bananas?

A puck of mass m is attached to a cord passing through a
small hole in a frictionless, horizontal surface (Fig. P11.49).
The puck is initially orbiting with speed v

i

in a circle of ra-

dius r

i

. The cord is then slowly pulled from below, decreas-

ing the radius of the circle to r. (a) What is the speed of the
puck when the radius is r? (b) Find the tension in the cord
as a function of r. (c) How much work W is done in moving
m from r

i

to r ? (Note: The tension depends on r.) (d) Ob-

tain  numerical  values  for  v, T,  and  W when  r # 0.100  m,
m # 50.0 g, r

i

#

0.300 m, and v

i

#

1.50 m/s.

49.

Two astronauts (Fig. P11.51), each having a mass of

75.0 kg, are connected by a 10.0-m rope of negligible mass.

51.

50.

A projectile of mass m moves to the right with a speed v

i

(Fig. P11.50a). The projectile strikes and sticks to the end
of  a  stationary  rod  of  mass  M, length  d, pivoted  about  a
frictionless axle through its center (Fig. P11.50b). (a) Find
the  angular  speed  of  the  system  right  after  the  collision.
(b)  Determine  the  fractional  loss  in  mechanical  energy
due to the collision. 

r

i

v

i

m

Figure P11.49

Figure P11.51 Problems 51 and 52.

Figure P11.50

They are isolated in space, orbiting their center of mass at
speeds  of  5.00  m/s.  Treating  the  astronauts  as  particles,
calculate (a) the magnitude of the angular momentum of
the system and (b) the rotational energy of the system. By
pulling on the rope, one of the astronauts shortens the dis-
tance between them to 5.00 m. (c) What is the new angu-
lar momentum of the system? (d) What are the astronauts’
new speeds? (e) What is the new rotational energy of the
system?  (f)  How  much  work  does  the  astronaut  do  in
shortening the rope?

v

i

(a)

O

(b)

d

m

O

ω

d

CM

Figure P11.54

v

2a

A

B

C

D

4a/3

52.

Two astronauts (Fig. P11.51), each having a mass M, are con-

nected  by  a  rope  of  length  d  having  negligible  mass.  They
are isolated in space, orbiting their center of mass at speeds
v. Treating the astronauts as particles, calculate (a) the mag-
nitude  of  the  angular  momentum  of  the  system  and
(b) the rotational  energy  of  the  system.  By  pulling  on  the
rope,  one  of  the  astronauts  shortens  the  distance  between
them to d/2. (c) What is the new angular momentum of the
system? (d) What are the astronauts’ new speeds? (e) What
is  the  new  rotational  energy  of  the  system?  (f)  How  much
work does the astronaut do in shortening the rope?

53.

Global warming is a cause for concern because even small

changes  in  the  Earth’s  temperature  can  have  significant
consequences.  For  example,  if  the  Earth’s  polar  ice  caps
were to melt entirely, the resulting additional water in the
oceans would flood many coastal cities. Would it apprecia-
bly  change  the  length  of  a  day?  Calculate  the  resulting
change in the duration of one day. Model the polar ice as
having  mass  2.30 ' 10

19

kg  and  forming  two  flat  disks  of

radius 6.00 ' 10

5

m. Assume the water spreads into an un-

broken thin spherical shell after it melts.

54.

A solid cube of wood of side 2a and mass M is resting on a

horizontal surface. The cube is constrained to rotate about
an axis AB (Fig. P11.54). A bullet of mass m and speed v is
shot  at  the  face  opposite  ABCD at  a  height  of  4a/3.  The
bullet becomes embedded in the cube. Find the minimum
value of v required to tip the cube so that it falls on face
ABCD. Assume m -- M.