Physics For Scientists And Engineers 6E - part 32

S E C T I O N   5 . 7 •  Some Applications of Newton’s Law

125

Conceptual Example 5.5 Forces Between Cars in a Train

Example 5.6 The Runaway Car

A car of mass m is on an icy driveway inclined at an angle !,
as in Figure 5.11a.

(A)

Find  the  acceleration  of  the  car,  assuming  that  the 

driveway is frictionless.

Solution Conceptualize the situation using Figure 5.11a. From
everyday experience, we know that a car on an icy incline will
accelerate down the incline. (It will do the same thing as a car
on a hill with its brakes not set.) This allows us to categorize the
situation as a nonequilibrium problem—that is, one in which
an  object  accelerates.  Figure  5.11b  shows  the  free-body  dia-
gram  for  the  car,  which  we  can  use  to  analyze the  problem.
The  only  forces  acting  on  the  car  are  the  normal  force  n
exerted  by  the  inclined  plane,  which  acts  perpendicular  to

the  plane,  and  the  gravitational  force 

F

g

"

m

g,  which  acts

vertically downward. For problems involving inclined planes,
it  is  convenient  to  choose  the  coordinate  axes  with  x along
the incline and y perpendicular to it, as in Figure 5.11b. (It is
possible to solve the problem with “standard” horizontal and
vertical axes. You may want to try this, just for practice.) Then,
we replace the gravitational force by a component of magni-
tude mg sin ! along the positive x axis and one of magnitude
mg cos ! along the negative y axis.

Now we apply Newton’s second law in component form,

noting that a

y

"

0:

(2)

           

#

F

y

"

n # mg

 

 cos ! " 0

(1)

           

#

F

x

"

mg

 

 sin !

 

"

ma

x

problem, we construct two free-body diagrams—one for the
traffic  light,  shown  in  Figure  5.10b,  and  one  for  the  knot
that holds the three cables together, as in Figure 5.10c. This
knot is a convenient object to choose because all the forces
of interest act along lines passing through the knot. 

With  reference  to  Figure  5.10b,  we  apply  the  equilib-

rium  condition  in  the  y direction, 

#F

y

"

0 : T

3

#

F

g

"

0.

This  leads  to  T

3

"

F

g

"

122 N.  Thus,  the  upward  force  T

3

exerted by the vertical cable on the light balances the gravi-
tational force. 

Next,  we  choose  the  coordinate  axes  shown  in  Figure

5.10c  and  resolve  the  forces  acting  on  the  knot  into  their
components:

the weight of the light. We solve (1) for T

2

in terms of T

1

to

obtain

This value for T

2

is substituted into (2) to yield

Both of these values are less than 100 N ( just barely for T

2

), so

the cables will not break. Let us finalize this problem by imag-
ining a change in the system, as in the following 

What If?

What If?

Suppose the two angles in Figure 5.10a are equal.

What would be the relationship between T

1

and T

2

?

Answer We  can  argue  from  the  symmetry  of  the  problem
that  the  two  tensions  T

1

and  T

2

would  be  equal  to  each

other. Mathematically, if the equal angles are called !, Equa-
tion (3) becomes

which  also  tells  us  that  the  tensions  are  equal.  Without
knowing the specific value of !, we cannot find the values of
T

1

and T

2

. However, the tensions will be equal to each other,

regardless of the value of !.

T

2

"

T

1

$

cos !
cos !

%

"

T

1

T

2

"

1.33T

1

"

97.4

  

N

T

1

"

73.4

 

N

T

1

 

sin

 

37.0' $ (1.33T

1

)(sin

  

53.0') # 122

  

N " 0

(3)

     

T

2

"

T

1

$

cos

  

37.0

'

cos

  

53.0

'

%

  " 1.33T

1

Train cars are connected by couplers, which are under tension
as the locomotive pulls the train. As you move through the
train from the locomotive to the last car, does the tension in
the couplers increase, decrease, or stay the same as the train
speeds up? When the engineer applies the brakes, the cou-
plers  are  under  compression.  How  does  this  compression
force vary from the locomotive to the last car? (Assume that
only the brakes on the wheels of the engine are applied.)

Solution As  the  train  speeds  up,  tension  decreases  from
front  to  back.  The  coupler  between  the  locomotive  and

the first car must apply enough force to accelerate the rest
of  the  cars.  As  you  move  back  along  the  train,  each  cou-
pler  is  accelerating  less  mass  behind  it.  The  last  coupler
has  to  accelerate  only  the  last  car,  and  so  it  is  under  the
least tension.

When the brakes are applied, the force again decreases

from front to back. The coupler connecting the locomotive
to the first car must apply a large force to slow down the rest
of  the  cars,  but  the  final  coupler  must  apply  a  force  large
enough to slow down only the last car.

Force

x Component

y Component

T

1

#

T

1

cos 37.0°

T

1

sin 37.0°

T

2

T

2

cos 53.0°

T

2

sin 53.0°

T

3

0

#

122 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a " 0) allows us to
write

(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of 

T

1

and

T

2

must  be  equal  in  magnitude,  and  from  (2)  we  see  that

the sum of the vertical components of 

T

1

and 

T

2

must bal-

ance the downward force 

T

3

, which is equal in magnitude to

#

F

y

"

T

1

 

sin  37.0' $ T

2

 

 

sin 53.0' $ (# 122

 

 N) " 0

#

F

x

" #

T

1

 

cos 37.0' $ T

2

 

cos 53.0' " 0

126

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

Solving (1) for a

x

, we see that the acceleration along the in-

cline  is  caused  by  the  component  of 

F

g

directed  down  the

incline:

To finalize this part, note that this acceleration component is
independent of the mass of the car! It depends only on the
angle of inclination and on g.

From  (2)  we  conclude  that  the  component  of 

F

g

per-

pendicular  to  the  incline  is  balanced  by  the  normal  force;
that is, n " mg cos !. This is another example of a situation
in which the normal force is not equal in magnitude to the
weight of the object.

(B)

Suppose the car is released from rest at the top of the

incline, and the distance from the car’s front bumper to the
bottom of the incline is d. How long does it take the front
bumper to reach the bottom, and what is the car’s speed as
it arrives there?

Solution Conceptualize by  imagining  that  the  car  is  sliding
down the hill and you are operating a stop watch to measure
the  entire  time  interval  until  it  reaches  the  bottom.  This
part of the problem belongs to kinematics rather than to dy-
namics,  and  Equation  (3)  shows  that  the  acceleration  a

x

is

constant.  Therefore  you  should  categorize  this  problem  as
that  of  a  particle  undergoing  constant  acceleration.  Apply
Equation  2.12,  x

f

"

x

i

$

v

xi

t $

a

x

t

2

,  to  analyze the  car’s

motion. Defining the initial position of the front bumper

as x

i

"

0 and its final position as x

f

"

d, and recognizing

that v

xi

"

0, we obtain

d "

1

2

a

x

t

2

1

2

g

 

 sin !

(3)

     

a

x

"

Using Equation 2.13, with v

xi

"

0, we find that

To finalize this part of the problem, we see from Equations
(4) and (5) that the time t at which the car reaches the bot-
tom  and  its  final  speed  v

xf

are  independent  of  the  car’s

mass,  as  was  its  acceleration.  Note  that  we  have  combined
techniques  from  Chapter  2  with  new  techniques  from  the
present  chapter  in  this  example.  As  we  learn  more  and
more  techniques  in  later  chapters,  this  process  of  com-
bining  information  from  several  parts  of  the  book  will
occur more often. In these cases, use the General Problem-
Solving  Strategy  to  help  you  identify  what  techniques  you
will need.

What  If?

(A) What  previously  solved  problem  does  this

become  if 

#

$

90°?  (B) What  problem  does  this  become  if

#

$

0?

Answer (A) Imagine ! going to 90° in Figure 5.11. The in-
clined  plane  becomes  vertical,  and  the  car  is  an  object  in
free-fall! Equation (3) becomes

which  is  indeed  t

he  free-fall  acceleration.  (We  find  a

x

"

g

rather than a

x

" #

g because we have chosen positive x to be

downward  in  Figure  5.11.)  Notice  also  that  the  condition

a

x

"

g

  

sin

 

! "

g

   

sin

 

90

'

"

g

√

2 gd sin !

(5)

     

v

xf

"

√

2a

x

d "

v

xf

2

"

2a

x

d

√

2d

g

 

sin

 

!

(4)

     

t "  

√

2d

a

x

"

(a)

(b)

n

m

x

y

g cos

mg sin

F

g

 = mg

u

u

u

u

Figure 5.11 (Example 5.6) (a) A car of mass m sliding down a frictionless incline.

(b) The free-body diagram for the car. Note that its acceleration along the incline is

g sin

!

.

S E C T I O N   5 . 7 •  Some Applications of Newton’s Law

127

n " mg cos ! gives us n " mg cos 90° " 0. This is consistent
with  the  fact  that  the  car  is  falling  downward  next to the
vertical  plane  but  there  is  no  interaction  force  between
the car  and  the  plane.  Equations  (4)  and  (5)  give  us

and 

both of which are consistent with a falling object.

(B) Imagine ! going to 0 in Figure 5.11. In this case, the in-
clined  plane  becomes  horizontal,  and  the  car  is  on  a  hori-
zontal surface. Equation (3) becomes

"

√

2gd,

v

xf

"

√

2gd

  

sin

 

90'

t "

√

2d

g

  

sin

 

90'

"

√

2d

g

which  is  consistent  with  the  fact  that  the  car  is  at  rest  in
equilibrium.  Notice  also  that  the  condition  n " mg cos !
gives us  n " mg cos  0 " mg,  which  is  consistent  with  our
expectation.

Equations (4) and (5) give us 

and 

. These results agree with the fact that

the  car  does  not  accelerate,  so  it  will  never  achieve  a  non-
zero final velocity, and it will take an infinite amount of time
to reach the bottom of the “hill”!

v

xf

"

√

2gd

  

sin

  

0 " 0

 t "

√

2d

g

  

sin

 

0

  : *

a

x

"

g

  

sin

 

! "

g

   

sin

 

0 " 0

Example 5.7 One Block Pushes Another

Two blocks of masses m

1

and m

2

, with m

1

+

m

2

, are placed in

contact with each other on a frictionless, horizontal surface,
as in Figure 5.12a. A constant horizontal force 

F is applied to

m

1

as shown. 

(A)

Find the magnitude of the acceleration of

the system.

Solution Conceptualize the situation using Figure 5.12a and
realizing that both blocks must experience the same acceler-
ation  because  they  are  in  contact  with  each  other  and  re-
main in contact throughout the motion. We categorize this as
a Newton’s second law problem because we have a force ap-
plied to a system and we are looking for an acceleration. To
analyze the problem, we first address the combination of two
blocks as a system. Because 

F is the only external horizontal

force acting on the system, we have

To finalize this part, note that this would be the same acceler-
ation  as  that  of  a  single  object  of  mass  equal  to  the  com-
bined masses of the two blocks in Figure 5.12a and subject
to the same force.

F

m

1

$

m

2

(1)

     

a

x

"

#

F

x

(system) " F " (m

1

$

m

2

)a

x

(B)

Determine the magnitude of the contact force between

the two blocks.

Solution Conceptualize by noting that the contact force is in-
ternal to the system of two blocks. Thus, we cannot find this
force  by  modeling  the  whole  system  (the  two  blocks)  as  a
single particle. We must now treat each of the two blocks in-
dividually  by  categorizing each  as  a  particle  subject  to  a  net
force. To analyze the situation, we first construct a free-body
diagram  for  each  block,  as  shown  in  Figures  5.12b  and
5.12c, where the contact force is denoted by 

P. From Figure

5.12c  we  see  that  the  only  horizontal  force  acting  on  m

2 

is  the  contact  force 

P

12

(the  force  exerted  by  m

1

on  m

2

),

which is directed to the right. Applying Newton’s second law
to m

2 

gives

Substituting  the  value  of  the  acceleration  a

x

given  by  (1)

into (2) gives

To  finalize the  problem,  we  see  from  this  result  that
the contact force P

12

is less than the applied force F. This

is  consistent  with  the  fact  that  the  force  required  to
accelerate  block  2  alone  must  be  less  than  the  force  re-
quired to produce the same acceleration for the two-block
system.

To  finalize further,  it  is  instructive  to  check  this  expres-

sion for P

12

by considering the forces acting on m

1

, shown

in Figure 5.12b. The horizontal forces acting on m

1

are the

applied force 

F to the right and the contact force P

21

to the

left  (the  force  exerted  by  m

2 

on  m

1

).  From  Newton’s  third

law, 

P

21

is the reaction to 

P

12

, so P

21

"

P

12

. Applying New-

ton’s second law to m

1 

gives

Substituting into (4) the value of a

x

from (1), we obtain

This agrees with (3), as it must.

P

12

"

F # m

1

a

x

"

F # m

1 

$

 

F

m

1

$

m

2

%

"

$

m

2

m

1

$

m

2

%

 

F

(4)

     

#

F

x

"

F # P

21

"

F # P

12

"

m

1

a

x

$

m

2

m

1

$

m

2

%

 

F

(3)

     

P

12

"

m

2

 

a

x

"

(2)

     

#

F

x

"

P

12

"

m

2

a

x

m

2

m

1

F

(a)

(b)

m

1

n

1

F

P

21

m

1

g

y

x

(c)

P

12

m

2

g

n

2

m

2

Active Figure 5.12 (Example 5.7) A force is applied to a block

of mass m

1

, which pushes on a second block of mass m

2

. (b) The

free-body diagram for m

1

. (c) The free-body diagram for m

2

.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com,

you can study the forces involved in this two-block

system.

128

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

What If?

Imagine that the force F in Figure 5.12 is applied

toward  the  left  on  the  right-hand  block  of  mass  m

2

.  Is  the

magnitude of the force P

12 

the same as it was when the force

was applied toward the right on m

1

?

Answer With the force applied toward the left on m

2

, the

contact  force  must  accelerate  m

1

.  In  the  original  situation,

the contact force accelerates m

2

. Because m

1

+

m

2

, this will

require more force, so the magnitude of 

P

12

is greater than

in the original situation.

Example 5.8 Weighing a Fish in an Elevator

A person weighs a fish of mass m on a spring scale attached
to  the  ceiling  of  an  elevator,  as  illustrated  in  Figure  5.13.
Show that if the elevator accelerates either upward or down-
ward, the spring scale gives a reading that is different from
the weight of the fish.

Solution Conceptualize by  noting  that  the  reading  on  the
scale is related to the extension of the spring in the scale,
which is related to the force on the end of the spring as in
Figure 5.2. Imagine that a string is hanging from the end
of the spring, so that the magnitude of the force exerted
on the spring is equal to the tension T in the string. Thus,
we are looking for T. The force 

T pulls down on the string

and pulls up on the fish. Thus, we can categorize this prob-
lem as one of analyzing the forces and acceleration associ-
ated with the fish by means of Newton’s second law. To an-
alyze the  problem,  we  inspect  the  free-body  diagrams  for
the  fish  in  Figure  5.13  and  note  that  the  external  forces
acting  on  the  fish  are  the  downward  gravitational  force

F

g

"

m

g and the force T exerted by the scale. If the eleva-

tor is either at rest or moving at constant velocity, the fish
does  not  accelerate,  and  so  ,F

y

"

T # F

g

"

0  or

T " F

g

"

mg. (Remember that the scalar mg is the weight

of the fish.)

If  the  elevator  moves  with  an  acceleration  a relative  to

an  observer  standing  outside  the  elevator  in  an  inertial
frame  (see  Fig.  5.13),  Newton’s  second  law  applied  to  the
fish gives the net force on the fish:

where  we  have  chosen  upward  as  the  positive  y  direction.
Thus,  we  conclude  from  (1)  that  the  scale  reading  T is
greater than the fish’s weight mg if 

a is upward, so that a

y

is

positive,  and  that  the  reading  is  less  than  mg if 

a is  down-

ward, so that a

y

is negative.

For example, if the weight of the fish is 40.0 N and 

a is up-

ward, so that a

y

" $

2.00 m/s

2

, the scale reading from (1) is

(1)

     

#

F

y

"

T # mg " ma

y

m

 

g

a

T

a

m

 

g

T

(b)

(a)

Observer in

inertial frame

Figure 5.13 (Example 5.8) Apparent weight versus true weight. (a) When the elevator

accelerates upward, the spring scale reads a value greater than the weight of the fish.

(b) When the elevator accelerates downward, the spring scale reads a value less than

the weight of the fish.