Physics For Scientists And Engineers 6E - part 30

S E C T I O N   5 . 4 •  Newton’s Second Law

117

and  so  on.  According  to  this  observation,  we  conclude  that 

the  magnitude  of  the

acceleration of an object is inversely proportional to its mass.

These observations are summarized in 

Newton’s second law:

When viewed from an inertial reference frame, the acceleration of an object is di-
rectly  proportional  to  the  net  force  acting  on  it  and  inversely  proportional  to  its
mass.

Thus, we can relate mass, acceleration, and force through the following mathematical
statement of Newton’s second law:

1

(5.2)

In  both  the  textual  and  mathematical  statements  of  Newton’s  second  law  above,  we
have indicated that the acceleration is due to the net force

#F acting on an object. The

net force on an object is the vector sum of all forces acting on the object. In solving a
problem using Newton’s second law, it is imperative to determine the correct net force
on  an  object.  There  may  be  many  forces  acting  on  an  object,  but  there  is  only  one
acceleration.

Note that Equation 5.2 is a vector expression and hence is equivalent to three com-

ponent equations:

(5.3)

#

F

x

"

ma

x

   

#

F

y

"

ma

y

   

#

F

z

"

ma

z

#

F " ma

▲

PITFALL PREVENTION

5.2 Force is the Cause of

Changes in Motion

Force  does not cause  motion.
We can  have  motion  in  the  ab-
sence  of  forces,  as  described  in
Newton’s  first  law.  Force  is  the
cause  of  changes in  motion,  as
measured by acceleration.

Newton’s second law

Quick Quiz 5.2

An object experiences no acceleration. Which of the follow-

ing cannot be true for the object? (a) A single force acts on the object. (b) No forces act
on the object. (c) Forces act on the object, but the forces cancel.

Quick Quiz 5.3

An object experiences a net force and exhibits an accelera-

tion  in  response.  Which  of  the  following  statements  is  always true?  (a)  The  object
moves in the direction of the force. (b) The acceleration is in the same direction as the
velocity. (c) The acceleration is in the same direction as the force. (d) The velocity of
the object increases.

Quick Quiz 5.4

You push an object, initially at rest, across a frictionless floor

with  a  constant  force  for  a  time  interval  %t,  resulting  in  a  final  speed  of  v for  the
object. You repeat the experiment, but with a force that is twice as large. What time in-
terval is now required to reach the same final speed v? (a) 4 %t (b) 2 %t (c) %t (d) %t/2
(e) %t/4.

▲

PITFALL PREVENTION

5.3 ma is Not a Force

Equation 5.2 does not say that the
product  ma is  a  force.  All  forces
on  an  object  are  added  vectori-
ally  to  generate  the  net  force  on
the left side of the equation. This
net  force  is  then  equated  to  the
product of the mass of the object
and  the  acceleration  that  results
from  the  net  force.  Do  not in-
clude an “ma force” in your analy-
sis of the forces on an object.

1

Equation 5.2 is valid only when the speed of the object is much less than the speed of light. We

treat the relativistic situation in Chapter 39.

Newton’s second law—

component form

Definition of the newton

Unit of Force

The SI unit of force is the 

newton, which is defined as the force that, when acting on

an object of mass 1 kg, produces an acceleration of 1 m/s

2

. From this definition and

Newton’s second law, we see that the newton can be expressed in terms of the follow-
ing fundamental units of mass, length, and time:

(5.4)

1

 

N

  

"

 

1

 

kg&m/s

2

118

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

System of Units

Mass

Acceleration

Force

SI

kg

m/s

2

N " kg · m/s

2

U.S. customary

slug

ft/s

2

lb " slug · ft/s

2

Units of Mass, Acceleration, and Force

a

Table 5.1

a

1 N " 0.225 lb.

Example 5.1 An Accelerating Hockey Puck

A hockey puck having a mass of 0.30 kg slides on the horizon-
tal, frictionless surface of an ice rink. Two hockey sticks strike
the  puck  simultaneously,  exerting  the  forces  on  the  puck
shown in Figure 5.4. The force 

F

1

has a magnitude of 5.0 N,

and the force 

F

2

has a magnitude of 8.0 N. Determine both

the magnitude and the direction of the puck’s acceleration.

Solution Conceptualize this problem by studying Figure 5.4.
Because we can determine a net force and we want an accel-
eration, we categorize this problem as one that may be solved
using  Newton’s  second  law.  To  analyze the  problem,  we  re-
solve the force vectors into components. The net force act-
ing on the puck in the x direction is

The net force acting on the puck in the y direction is

Now we use Newton’s second law in component form to find
the x and y components of the puck’s acceleration:

The acceleration has a magnitude of

and its direction relative to the positive x axis is

30'

! "

tan

#

1

$

a

y

a

x

%

"

tan

#

1

$

17
29

%

"

34

  

m/s

2

a "

√

(29)

2

$

(17)

2

 m/s

2

"

a

y

"

#F

y

m

"

5.2 N

0.30 kg

"

17 m/s

2

a

x

"

#F

x

m

"

8.7 N

0.30 kg

"

29 m/s

2

"

(5.0 N)(#

 

0.342) $ (8.0 N)(0.866) " 5.2 N

#

F

y

"

F

1y

$

F

2y

"

F

1 

sin (#

 

20') $ F

2

 sin 60'

"

(5.0 N)(0.940) $ (8.0 N)(0.500) " 8.7 N

#

F

x

"

F

1x

$

F

2x

"

F

1 

cos(#

 

20') $ F

2

 cos

 

60'

To  finalize the  problem,  we  can  graphically  add  the  vectors
in Figure 5.4 to check the reasonableness of our answer. Be-
cause the acceleration vector is along the direction of the re-
sultant force, a drawing showing the resultant force helps us
check the validity of the answer. (Try it!)

What  If?

Suppose  three  hockey  sticks  strike  the  puck  si-

multaneously, with two of them exerting the forces shown in
Figure  5.4.  The  result  of  the  three  forces  is  that  the  hockey
puck shows no acceleration. What must be the components
of the third force?

Answer If  there  is  zero  acceleration,  the  net  force  acting
on the puck must be zero. Thus, the three forces must can-
cel. We have found the components of the combination of
the  first  two  forces.  The  components  of  the  third  force
must be of equal magnitude and opposite sign in order that
all of the  components  add  to  zero.  Thus,  F

3x

" #

8.7 N,

F

3y

" #

5.2 N.

In the U.S. customary system, the unit of force is the 

pound, which is defined as

the force that, when acting on a 1-slug mass,

2

produces an acceleration of 1 ft/s

2

:

(5.5)

A convenient approximation is that 

.

The units of mass, acceleration, and force are summarized in Table 5.1.

1

 

N

&

1

4

 lb

1

 

lb

  

"

 

1

 

slug&ft/s

2

2

The slug is the unit of mass in the U.S. customary system and is that system’s counterpart of the SI

unit the kilogram. Because most of the calculations in our study of classical mechanics are in SI units,
the slug is seldom used in this text.

x

y

60

°

F

2

F

2

  =  8.0 N

F

1

  =  5.0 N

20

°

F

1

Figure 5.4 (Example 5.1) A hockey puck moving on a

frictionless surface accelerates in the direction of the resultant

force F

1

$

F

2

.

S E C T I O N   5 . 5 •  The Gravitational Force and Weight

119

5.5 The Gravitational Force and Weight

We  are  well  aware  that  all  objects  are  attracted  to  the  Earth.  The  attractive  force  ex-
erted by the Earth on an object is called the 

gravitational force F

g

. This force is di-

rected toward the center of the Earth,

3

and its magnitude is called the 

weight of the

object.

We saw in Section 2.6 that a freely falling object experiences an acceleration 

g act-

ing toward the center of the Earth. Applying Newton’s second law 

#F " ma to a freely

falling object of mass m, with 

a " g and #F " F

g

, we obtain

(5.6)

Thus, the weight of an object, being defined as the magnitude of 

F

g

, is equal to mg.

Because  it  depends  on  g,  weight  varies  with  geographic  location.  Because g de-

creases with increasing distance from the center of the Earth, objects weigh less at
higher altitudes than at sea level. For example, a 1 000-kg palette of bricks used in
the construction of the Empire State Building in New York City weighed 9 800 N at
street level, but weighed about 1 N less by the time it was lifted from sidewalk level
to  the  top  of  the  building.  As  another  example,  suppose  a  student  has  a  mass  of
70.0 kg. The student’s weight in a location where g " 9.80 m/s

2

is F

g

"

mg " 686 N

(about  150 lb).  At  the  top  of  a  mountain,  however,  where  g " 9.77 m/s

2

,  the

student’s  weight  is  only  684 N.  Therefore,  if  you  want  to  lose  weight  without
going on a diet, climb a mountain or weigh yourself at 30 000 ft during an airplane
flight!

Because weight is proportional to mass, we can compare the masses of two objects

by measuring their weights on a spring scale. At a given location (at which two objects
are subject to the same value of g), the ratio of the weights of two objects equals the ra-
tio of their masses.

Equation 5.6 quantifies the gravitational force on the object, but notice that this

equation does not require the object to be moving. Even for a stationary object, or
an object on which several forces act, Equation 5.6 can be used to calculate the mag-
nitude of the gravitational force. This results in a subtle shift in the interpretation
of m in the equation. The mass m in Equation 5.6 is playing the role of determining
the strength of the gravitational attraction between the object and the Earth. This
is a completely different role from that previously described for mass, that of mea-
suring the resistance to changes in motion in response to an external force. Thus,
we call m in this type of equation the 

gravitational mass. Despite this quantity be-

ing  different  in  behavior  from  inertial  mass,  it  is  one  of  the  experimental  conclu-
sions in Newtonian dynamics that gravitational mass and inertial mass have the same
value.

F

g

"

m

g

▲

PITFALL PREVENTION

5.4 “Weight of an Object”

We are familiar with the everyday
phrase, the “weight of an object.”
However,  weight  is  not  an  inher-
ent  property  of  an  object,  but
rather  a  measure  of  the  gravita-
tional  force  between  the  object
and  the  Earth.  Thus,  weight  is  a
property of a system of items—the
object and the Earth.

The life-support unit strapped to

the back of astronaut Edwin Aldrin

weighed 300 lb on the Earth.

During his training, a 50-lb mock-up

was used. Although this effectively

simulated the reduced weight the

unit would have on the Moon, it did

not correctly mimic the unchanging

mass. It was just as difficult to accel-

erate the unit (perhaps by jumping

or twisting suddenly) on the Moon

as on the Earth. 

Courtesy of NASA

Quick  Quiz  5.5

A  baseball  of  mass  m is  thrown  upward  with  some  initial

speed. A gravitational force is exerted on the ball (a) at all points in its motion (b) at
all points in its motion except at the highest point (c) at no points in its motion.

Quick Quiz 5.6

Suppose you are talking by interplanetary telephone to your

friend, who lives on the Moon. He tells you that he has just won a newton of gold in a
contest. Excitedly, you tell him that you entered the Earth version of the same contest
and  also  won  a  newton  of  gold!  Who  is  richer?  (a)  You  (b)  Your  friend  (c)  You  are
equally rich.

3

This statement ignores the fact that the mass distribution of the Earth is not perfectly spherical.

▲

PITFALL PREVENTION

5.5 Kilogram is Not a Unit

of Weight

You  may  have  seen  the  “con-
version”  1 kg " 2.2 lb.  Despite
popular  statements  of  weights
expressed  in  kilograms,  the  kilo-
gram is not a unit of weight, it is a
unit of mass. The conversion state-
ment  is  not  an  equality;  it  is  an
equivalence that  is  only  valid  on
the surface of the Earth.

120

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

5.6 Newton’s Third Law

If you press against a corner of this textbook with your fingertip, the book pushes back
and makes a small dent in your skin. If you push harder, the book does the same and
the dent in your skin is a little larger. This simple experiment illustrates a general prin-
ciple of critical importance known as 

Newton’s third law:

If two objects interact, the force 

F

12

exerted by object 1 on object 2 is equal in mag-

nitude and opposite in direction to the force 

F

21

exerted by object 2 on object 1:

(5.7)

When  it  is  important  to  designate  forces  as  interactions  between  two  objects,  we  will
use this subscript notation, where 

F

ab

means “the force exerted by a on b.” The third

law, which is illustrated in Figure 5.5a, is equivalent to stating that 

forces always occur

in pairs, or that a single isolated force cannot exist. The force that object 1 exerts
on object 2 may be called the action force and the force of object 2 on object 1 the reac-
tion force. In reality, either force can be labeled the action or reaction force. 

The action

force is equal in magnitude to the reaction force and opposite in direction. In
all cases, the action and reaction forces act on different objects and must be of
the same type. For example, the force acting on a freely falling projectile is the gravi-
tational force exerted by the Earth on the projectile 

F

g

"

F

Ep

(E " Earth, p " projec-

tile),  and the  magnitude of this force  is  mg. The reaction to this force is the gravita-
tional force exerted by the projectile on the Earth 

F

pE

" #

F

Ep

. The reaction force 

F

pE

must accelerate the Earth toward the projectile just as the action force 

F

Ep

accelerates

the projectile toward the Earth. However, because the Earth has such a large mass, its
acceleration due to this reaction force is negligibly small.

F

12

" #

 

F

21

Conceptual Example 5.2 How Much Do You Weigh in an Elevator?

Solution No, your weight is unchanged. To provide the ac-
celeration upward, the floor or scale must exert on your feet
an  upward  force  that  is  greater  in  magnitude  than  your
weight. It is this greater force that you feel, which you inter-
pret  as  feeling  heavier.  The  scale  reads  this  upward  force,
not your weight, and so its reading increases.

You  have  most  likely  had  the  experience  of  standing  in  an
elevator that accelerates upward as it moves toward a higher
floor. In this case, you feel heavier. In fact, if you are stand-
ing  on  a  bathroom  scale  at  the  time,  the  scale  measures  a
force  having  a  magnitude  that  is  greater  than  your  weight.
Thus, you have tactile and measured evidence that leads you
to believe you are heavier in this situation. Are you heavier?

Newton’s third law

2

1

F

12

F

21

F

12

  =  –F

21

(a)

F

nh

F

hn

(b)

Figure 5.5 Newton’s third law. (a) The force F

12

exerted by object 1 on object 2 is

equal in magnitude and opposite in direction to the force F

21

exerted by object 2 on

object 1. (b) The force F

hn

exerted by the hammer on the nail is equal in magnitude

and opposite to the force F

nh

exerted by the nail on the hammer. 

John Gillmoure /corbisstockmarket.com