Physics For Scientists And Engineers 6E - part 33

S E C T I O N   5 . 7 •  Some Applications of Newton’s Law

129

If a is downward so that a

y

" #

2.00 m/s

2

, then (2) gives us

31.8

 

N

"

T " F

g

$

a

y

g

$

1

%

"

(40.0

 

N)

 

$

#

2.00

 

m/s

2

9.80

 

m/s

2

$

1

%

48.2

 

N

"

  " F

g 

$

a

y

g

$

1

%

"

(40.0

 

N)

 

$

2.00

 

m/s

2

9.80

 

m/s

2

$

1

%

(2)

 

T " ma

y

$

mg " mg

 

$

a

y

g

$

1

%

To  finalize this  problem,  take  this  advice—if  you  buy

a fish  in  an  elevator,  make  sure  the  fish  is  weighed  while
the  elevator  is  either  at  rest  or  accelerating  downward!
Furthermore, note that from the information given here,
one  cannot  determine  the  direction  of  motion  of  the
elevator.

What  If?

Suppose  the  elevator  cable  breaks,  so  that  the

elevator and its contents are in free-fall. What happens to the
reading on the scale?

Answer If  the  elevator  falls  freely,  its  acceleration  is
a

y

" #

g. We see from (2) that the scale reading T is zero in

this case; that is, the fish appears to be weightless.

Example 5.9 The Atwood Machine

downward.  Because  the  objects  are  connected  by  an  inex-
tensible string, their accelerations must be of equal magni-
tude. The objects in the Atwood machine are subject to the
gravitational  force  as  well  as  to  the  forces  exerted  by  the
strings  connected  to  them—thus,  we  can  categorize this  as  a
Newton’s second law problem. To analyze the situation, the
free-body diagrams for the two objects are shown in Figure
5.14b. Two forces act on each object: the upward force 

T ex-

erted by the string and the downward gravitational force. In
problems  such  as  this  in  which  the  pulley  is  modeled  as
massless  and  frictionless,  the  tension  in  the  string  on  both
sides of the pulley is the same. If the pulley has mass and/or
is subject to friction, the tensions on either side are not the
same and the situation requires techniques we will learn in
Chapter 10.

We must be very careful with signs in problems such as

this. In Figure 5.14a, notice that if object 1 accelerates up-
ward, then object 2 accelerates downward. Thus, for consis-
tency with signs, if we define the upward direction as posi-
tive for object 1, we must define the downward direction as
positive  for  object  2.  With  this  sign  convention,  both  ob-
jects  accelerate  in  the  same  direction  as  defined  by  the
choice of sign. Furthermore, according to this sign conven-
tion, the y component of the net force exerted on object 1
is T # m

1

g, and the y component of the net force exerted

on  object  2  is  m

2

g # T.  Notice  that  we  have  chosen  the

signs  of  the  forces  to  be  consistent  with  the  choices  of
signs for  up  and  down  for  each  object.  If  we  assume  that
m

2

+

m

1

,  then  m

1

must  accelerate  upward,  while  m

2

must

accelerate downward.

When  Newton’s  second  law  is  applied  to  object  1,  we

obtain

Similarly, for object 2 we find

When (2) is added to (1), T cancels and we have

$

m

2

#

m

1

m

1

$

m

2

%

g

(3)

     

a

y

"

#

m

1

g $ m

2

g " m

1

a

y

$

m

2

a

y

(2)

     

#

F

y

"

m

2

g # T " m

2

a

y

(1)

     

#

F

y

"

T # m

1

g " m

1

a

y

(b)

m

1

T

m

1

g

T

m

2

g

(a)

m

1

m

2

a

a

m

2

When two objects of unequal mass are hung vertically over a
frictionless pulley of negligible mass, as in Figure 5.14a, the
arrangement  is  called  an  Atwood  machine. The  device  is
sometimes used in the laboratory to measure the free-fall ac-
celeration. Determine the magnitude of the acceleration of
the two objects and the tension in the lightweight cord.

Solution Conceptualize the  situation  pictured  in  Figure
5.14a—as one object moves upward, the other object moves

Active Figure 5.14 (Example 5.9) The Atwood machine. (a) Two

objects (m

2

+

m

1

) connected by a massless inextensible cord over

a frictionless pulley. (b) Free-body diagrams for the two objects.

Interactive

At the Active Figures link at http://www.pse6.com,

you can adjust the masses of the objects on the Atwood

machine and observe the motion.

130

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

The acceleration given by (3) can be interpreted as the ratio
of  the  magnitude  of  the  unbalanced  force  on  the  system
(m

2

#

m

1

)g, to the total mass of the system (m

1

$

m

2

), as ex-

pected from Newton’s second law.

When (3) is substituted into (1), we obtain

Finalize this problem with the following 

What If?

What  If? (A)

Describe  the  motion  of  the  system  if 

the objects have equal masses, that is, m

1

$ 

m

2

. 

$

2m

1

m

2

m

1

$

m

2

%

g

(4)

     

T "

(B)

Describe the motion of the system if one of the masses

is much larger than the other, m

1

!!

m

2

.

Answer (A)  If  we  have  the  same  mass  on  both  sides,  the
system is balanced and it should not accelerate. Mathemati-
cally,  we  see  that  if  m

1

"

m

2

,  Equation  (3)  gives  us  a

y

"

0.

(B)  In  the  case  in  which  one  mass  is  infinitely  larger  than
the  other,  we  can  ignore  the  effect  of  the  smaller  mass.
Thus,  the  larger  mass  should  simply  fall  as  if  the  smaller
mass were not there. We see that if m

1

++

m

2

, Equation (3)

gives us a

y

" #

g

.

Investigate these limiting cases at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Example 5.10 Acceleration of Two Objects Connected by a Cord

A ball of mass m

1

and a block of mass m

2

are attached by a

lightweight cord that passes over a frictionless pulley of neg-
ligible mass, as in Figure 5.15a. The block lies on a friction-
less incline of angle !. Find the magnitude of the accelera-
tion of the two objects and the tension in the cord.

Solution Conceptualize the  motion  in  Figure  5.15.  If  m

2

moves down the incline, m

1

moves upward. Because the ob-

jects  are  connected  by  a  cord  (which  we  assume  does  not
stretch), their accelerations have the same magnitude. We
can  identify  forces  on  each  of  the  two  objects  and  we  are
looking  for  an  acceleration,  so  we  categorize this  as  a  New-
ton’s  second-law  problem.  To  analyze the  problem,  con-
sider  the  free-body  diagrams  shown  in  Figures  5.15b  and
5.15c.  Applying  Newton’s  second  law  in  component  form
to  the  ball,  choosing  the  upward  direction  as  positive,
yields

Note  that  in  order  for  the  ball  to  accelerate  upward,  it  is
necessary  that  T + m

1

g.  In  (2),  we  replaced  a

y

with  a be-

cause the acceleration has only a y component.

For  the  block  it  is  convenient  to  choose  the  positive  x(

axis  along  the  incline,  as  in  Figure  5.15c.  For  consistency

(2)

     

#

F

y

"

T # m

1

g " m

1

a

y

"

m

1

a

(1)

     

#

F

x

"

0

with our choice for the ball, we choose the positive direction
to  be  down  the  incline.  Applying  Newton’s  second  law  in
component form to the block gives

In  (3)  we  replaced  a

x(

with  a because  the  two  objects  have

accelerations  of  equal  magnitude  a.  Equations  (1)  and  (4)
provide  no  information  regarding  the  acceleration.  How-
ever, if we solve (2) for T and then substitute this value for T
into (3) and solve for a, we obtain

When this expression for a is substituted into (2), we find

To  finalize the  problem,  note  that  the  block  accelerates

down  the  incline  only  if  m

2

sin ! + m

1

.  If  m

1

+

m

2

sin !,

m

1

m

2

 

g

 

(sin ! $ 1)

m

1

$

m

2

(6)

     

T "

m

2

 

g

  

sin

 

! #

m

1

 

g

 

m

1

$

m

2

(5)

     

a "

(4)

     

#

F

y(

"

n # m

2

 

g

   

cos

 

! "

0

(3)

     

#

F

x(

"

m

2

g

   

sin ! # T " m

2

a

x(

"

m

2

a

m

2

g cos

θ

a

(a)

θ

m

1

x

y

T

m

1

g

(b)

x

′

y

′

T

θ

m

2

g

(c)

n

a

m

2

g sin

θ

m

2

m

1

Figure 5.15 (Example 5.10) (a) Two objects connected by a lightweight cord strung

over a frictionless pulley. (b) Free-body diagram for the ball. (c) Free-body diagram for

the block. (The incline is frictionless.)

Interactive

5.8 Forces of Friction

When an object is in motion either on a surface or in a viscous medium such as air or
water, there is resistance to the motion because the object interacts with its surround-
ings. We call such resistance a 

force of friction. Forces of friction are very important

in our everyday lives. They allow us to walk or run and are necessary for the motion of
wheeled vehicles.

Imagine that you are working in your garden and have filled a trash can with yard clip-

pings. You then try to drag the trash can across the surface of your concrete patio, as in
Figure 5.16a. This is a real surface, not an idealized, frictionless surface. If we apply an ex-
ternal horizontal force 

F to the trash can, acting to the right, the trash can remains sta-

tionary if 

F is small. The force that counteracts F and keeps the trash can from moving

acts to the left and is called the 

force of static friction f

s

. As long as the trash can is not

moving,  f

s

"

F.  Thus,  if 

F is increased, f

s

also  increases.  Likewise,  if 

F decreases, f

s

also

S E C T I O N   5 . 8 •  Forces of Friction

131

then  the  acceleration  is  up  the  incline  for  the  block  and
downward for the ball. Also note that the result for the ac-
celeration  (5)  can  be  interpreted  as  the  magnitude  of  the
net force acting on the system divided by the total mass of
the system; this is consistent with Newton’s second law.

What  If? (A)

What  happens  in  this  situation  if  the  angle

#

$

90°? 

(B)

What happens if the mass m

1

$

0?

Answer (A) If ! " 90°, the inclined plane becomes vertical
and  there  is  no  interaction  between  its  surface  and  m

2

.

Thus, this problem becomes the Atwood machine of Exam-
ple  5.9.  Letting  ! : 90° in  Equations  (5)  and  (6)  causes
them  to  reduce  to  Equations  (3)  and  (4)  of  Example  5.9!
(B)  If  m

1

"

0,  then  m

2

is  simply  sliding  down  an  inclined

plane without interacting with m

1

through the string. Thus,

this  problem  becomes  the  sliding  car  problem  in  Example
5.6.  Letting  m

1

:

0  in  Equation  (5)  causes  it  to  reduce  to

Equation (3) of Example 5.6!

Investigate these limiting cases at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

F

f

k

 =    

k

n

f

s

 = F

0

|f|

f

s,max

Static region

(c)

(a)

(b)

Kinetic region

µ

mg

n

F

n

Motion

mg

f

k

f

s

F

Active Figure 5.16 The direction of the force of friction f be-

tween a trash can and a rough surface is opposite the direction

of the applied force F. Because both surfaces are rough, contact

is made only at a few points, as illustrated in the “magnified”

view. (a) For small applied forces, the magnitude of the force of

static friction equals the magnitude of the applied force.

(b) When the magnitude of the applied force exceeds the

magnitude of the maximum force of static friction, the trash

can breaks free. The applied force is now larger than the force

of kinetic friction and the trash can accelerates to the right.

(c) A graph of friction force versus applied force. Note that

f

s,max

+

f

k

.

Force of static friction

At the Active Figures link at http://www.pse6.com

you can vary the applied force on the trash can and

practice sliding it on surfaces of varying roughness.

Note the effect on the trash can’s motion and the corre-

sponding behavior of the graph in (c).

decreases. Experiments show that the friction force arises from the nature of the two sur-
faces: because of their roughness, contact is made only at a few locations where peaks of
the material touch, as shown in the magnified view of the surface in Figure 5.16a.

At  these  locations,  the  friction  force  arises  in  part  because  one  peak  physically

blocks  the  motion  of  a  peak  from  the  opposing  surface,  and  in  part  from  chemical
bonding (“spot welds”) of opposing peaks as they come into contact. If the surfaces are
rough, bouncing is likely to occur, further complicating the analysis. Although the de-
tails of friction are quite complex at the atomic level, this force ultimately involves an
electrical interaction between atoms or molecules.

If we increase the magnitude of 

F, as in Figure 5.16b, the trash can eventually slips.

When  the  trash  can  is  on  the  verge  of  slipping, f

s

has  its  maximum  value f

s,max

,  as

shown in Figure 5.16c. When F exceeds f

s,max

, the trash can moves and accelerates to

the  right.  When  the  trash  can  is  in  motion,  the  friction  force  is  less  than  f

s,max

(Fig.

5.16c). We call the friction force for an object in motion the 

force of kinetic friction

f

k

.  The  net  force  F # f

k

in  the  x direction  produces  an  acceleration  to  the  right,  ac-

cording to Newton’s second law. If F " f

k

, the acceleration is zero, and the trash can

moves  to  the  right  with  constant  speed.  If  the  applied  force  is  removed,  the  friction
force  acting  to  the  left  provides  an  acceleration  of  the  trash  can  in  the #x  direction
and eventually brings it to rest, again consistent with Newton’s second law.

Experimentally, we find that, to a good approximation, both f

s,max 

and f

k

are pro-

portional to the magnitude of the normal force. The following empirical laws of fric-
tion summarize the experimental observations:

• The magnitude of the force of static friction between any two surfaces in contact

can have the values

(5.8)

where the dimensionless constant -

s

is called the 

coefficient of static friction and

n is the magnitude of the normal force exerted by one surface on the other. The
equality in Equation 5.8 holds when the surfaces are on the verge of slipping, that
is,  when  f

s

"

f

s,max

" -

s

n.  This  situation  is  called  impending  motion.  The  inequality

holds when the surfaces are not on the verge of slipping.

• The magnitude of the force of kinetic friction acting between two surfaces is

(5.9)

where -

k

is the 

coefficient of kinetic friction. Although the coefficient of kinetic

friction can vary with speed, we shall usually neglect any such variations in this text.

f

k

"

-

k

n

f

s

.

-

s

n

132

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

%

s

%

k

Steel on steel

0.74

0.57

Aluminum on steel

0.61

0.47

Copper on steel

0.53

0.36

Rubber on concrete

1.0

0.8

Wood on wood

0.25–0.5

0.2

Glass on glass

0.94

0.4

Waxed wood on wet snow

0.14

0.1

Waxed wood on dry snow

—

0.04

Metal on metal (lubricated)

0.15

0.06

Ice on ice

0.1

0.03

Teflon on Teflon

0.04

0.04

Synovial joints in humans

0.01

0.003

Coefficients of Friction

a

Table 5.2

a

All values are approximate. In some cases, the coefficient
of friction can exceed 1.0.

Force of kinetic friction

▲

PITFALL PREVENTION

5.9 The Equal Sign is Used

in Limited Situations

In Equation 5.8, the equal sign is
used only in the case in which the
surfaces  are  just  about  to  break
free and begin sliding. Do not fall
into  the  common  trap  of  using
f

s

"

-

s

n in any static situation.

▲

PITFALL PREVENTION

5.10 Friction Equations

Equations 5.8 and 5.9 are not vec-
tor  equations.  They  are  relation-
ships  between  the  magnitudes of
the  vectors  representing  the  fric-
tion  and  normal  forces.  Because
the  friction  and  normal  forces
are  perpendicular  to  each  other,
the vectors cannot be related by a
multiplicative constant.