Physics For Scientists And Engineers 6E - part 16

SECTION 3.3 •  Some Properties of Vectors

61

Another example of a vector quantity is displacement, as you know from Chapter 2.

Suppose a particle moves from some point ! to some point " along a straight path, as
shown in Figure 3.4. We represent this displacement by drawing an arrow from ! to
"

, with the tip of the arrow pointing away from the starting point. The direction of the

arrowhead represents the direction of the displacement, and the length of the arrow
represents the magnitude of the displacement. If the particle travels along some other
path from ! to ", such as the broken line in Figure 3.4, its displacement is still the
arrow  drawn  from  ! to  ".  Displacement  depends  only  on  the  initial  and  final  posi-
tions, so the displacement vector is independent of the path taken between these two
points.

In this text, we use a boldface letter, such as 

A, to represent a vector quantity. An-

other notation is useful when boldface notation is difficult, such as when writing on pa-
per  or  on  a  chalkboard—an  arrow  is  written  over  the  symbol  for  the  vector: 

:

A.  The

magnitude  of  the  vector 

A is  written either  A or  !A!.  The magnitude  of a vector  has

physical units, such as meters for displacement or meters per second for velocity. The
magnitude of a vector is always a positive number.

A vector quantity is completely specified by a number and appropriate units plus a
direction.

!

"

Figure 3.4 As a particle moves

from ! to " along an arbitrary

path represented by the broken

line, its displacement is a vector

quantity shown by the arrow drawn

from ! to ".

O

y

x

Figure 3.5 These four vectors are

equal because they have equal

lengths and point in the same

direction.

Quick Quiz 3.1

Which of the following are vector quantities and which are

scalar quantities? (a) your age (b) acceleration (c) velocity (d) speed (e) mass

▲

PITFALL PREVENTION

3.1 Vector Addition versus

Scalar Addition

Keep  in  mind  that  A % B " C is
very  different  from  A % B " C.
The  first  is  a  vector  sum,  which
must  be  handled  carefully,  such
as  with  the  graphical  method
described  here.  The  second  is  a
simple  algebraic  addition  of
numbers that is handled with the
normal rules of arithmetic.

B

A

R  

=  A 

 +  

B

Active Figure 3.6 When vector B

is added to vector A, the resultant

R is the vector that runs from the

tail of A to the tip of B.

3.3 Some Properties of Vectors

Equality of Two Vectors

For many purposes, two vectors 

A and B may be defined to be equal if they have the

same magnitude and point in the same direction. That is, 

A " B only if A " B and if A

and 

B point in the same direction along parallel lines. For example, all the vectors in

Figure 3.5 are equal even though they have different starting points. This property al-
lows us to move a vector to a position parallel to itself in a diagram without affecting
the vector.

Adding Vectors

The rules for adding vectors are conveniently described by graphical methods. To add
vector 

B to  vector  A,  first  draw  vector  A on  graph  paper,  with  its  magnitude  repre-

sented by a convenient length scale, and then draw vector 

B to the same scale with its

tail  starting  from  the  tip  of 

A,  as  shown  in  Figure  3.6.  The  resultant  vector  R "

A % B is the vector drawn from the tail of A to the tip of B.

For example, if you walked 3.0 m toward the east and then 4.0 m toward the north,

as  shown  in  Figure  3.7,  you  would  find  yourself  5.0 m  from  where  you  started,  mea-
sured at an angle of 53° north of east. Your total displacement is the vector sum of the
individual displacements.

A  geometric  construction  can  also  be  used  to  add  more  than  two  vectors.  This  is

shown  in  Figure  3.8  for  the  case  of  four  vectors.  The  resultant  vector 

R " A % B %

C % D is the vector that completes the polygon. In other words, R is the vector drawn
from the tail of the first vector to the tip of the last vector.

When two vectors are added, the sum is independent of the order of the addition.

(This fact may seem trivial, but as you will see in Chapter 11, the order is important

Go to the Active Figures

link at http://www.pse6.com.

62

CHAPTE R 3 •  Vectors

when  vectors  are  multiplied).  This  can  be  seen  from  the  geometric  construction  in
Figure 3.9 and is known as the 

commutative law of addition:

A % B " B % A

( 3 . 5 )

When three or more vectors are added, their sum is independent of the way in

which  the  individual  vectors  are  grouped  together.  A  geometric  proof  of  this  rule
for  three  vectors  is  given  in  Figure  3.10.  This  is  called  the 

associative  law  of

addition:

A % (B % C) " (A % B) % C

(3.6)

In summary, 

a vector quantity has both magnitude and direction and also

obeys the laws of vector addition as described in Figures 3.6 to 3.10. When two or
more  vectors  are  added  together,  all  of  them  must  have  the  same  units  and  all  of
them must be the same type of quantity. It would be meaningless to add a velocity
vector  (for  example,  60 km/h  to  the  east)  to  a  displacement  vector  (for  example,
200 km to the north) because they represent different physical quantities. The same
rule also applies to scalars. For example, it would be meaningless to add time inter-
vals to temperatures.

Negative of a Vector

The negative of the vector 

A is defined as the vector that when added to A gives zero

for the vector sum. That is, 

A % (# A) " 0. The vectors A and # A have the same mag-

nitude but point in opposite directions.

A

B

C

D

R  =  A  +  B  +  C  +  D

Figure 3.8 Geometric construc-

tion for summing four vectors. The

resultant vector R is by definition

the one that completes the

polygon.

Figure 3.9 This construction

shows that A % B " B % A—in

other words, that vector addition 

is commutative.

A

B

A

B

R = B + A = A + B

3.0 m

(      )

4.0

3.0

θ

 = tan

–1

θ

= 53

°

|R

| =    (3.0 m)

2

 + (4.0 m)

2

 = 5.0 m

4.0 m

N

S

W

E

Figure 3.7 Vector addition. Walking first 3.0 m

due east and then 4.0 m due north leaves you

5.0 m from your starting point.

A

B

B + C

C

A 

+ (B 

+ C)

A

B

A + B

C

(A 

+ B) 

+ C

Associative Law

Figure 3.10 Geometric constructions for verifying the associative law of addition.

Subtracting Vectors

The  operation  of  vector  subtraction  makes  use  of  the  definition  of  the  negative  of  a
vector. We define the operation 

A # B as vector # B added to vector A:

A # B " A % (# B)

(3.7)

The  geometric  construction  for  subtracting  two  vectors  in  this  way  is  illustrated  in
Figure 3.11a.

Another way of looking at vector subtraction is to note that the difference 

A # B

between two vectors 

A and B is what you have to add to the second vector to obtain the

first. In this case, the vector 

A # B points from the tip of the second vector to the tip

of the first, as Figure 3.11b shows.

SECTION 3.3 •  Some Properties of Vectors

63

Quick Quiz 3.2

The magnitudes of two vectors A and B are A " 12 units and

B " 8 units. Which of the following pairs of numbers represents the largest and smallest
possible  values  for  the  magnitude  of  the  resultant  vector  R " A % B?  (a)  14.4  units,
4 units (b) 12 units, 8 units (c) 20 units, 4 units (d) none of these answers.

Quick Quiz 3.3

If vector B is added to vector A, under what condition does

the resultant vector A % B have magnitude A % B? (a) A and B are parallel and in the
same direction. (b) A and B are parallel and in opposite directions. (c) A and B are
perpendicular.

Quick Quiz 3.4

If vector B is added to vector A, which two of the following

choices must be true in order for the resultant vector to be equal to zero? (a) A and B
are parallel and in the same direction. (b) A and B are parallel and in opposite direc-
tions. (c) A and B have the same magnitude. (d) A and B are perpendicular.

C = A – B

A

B

C = A – B

A

– B

B

Vector Subtraction

(a)

(b)

Figure 3.11 (a) This construction shows how to subtract vector B from vector A. The

vector # B is equal in magnitude to vector B and points in the opposite direction. To

subtract B from A, apply the rule of vector addition to the combination of A and # B:

Draw A along some convenient axis, place the tail of # B at the tip of A, and C is the

difference A # B. (b) A second way of looking at vector subtraction. The difference

vector C " A # B is the vector that we must add to B to obtain A.

64

CHAPTE R 3 •  Vectors

Example 3.2 A Vacation Trip

A car travels 20.0 km due north and then 35.0 km in a di-
rection 60.0° west of north, as shown in Figure 3.12a. Find
the  magnitude  and  direction  of  the  car’s  resultant
displacement.

Solution The vectors 

A and B drawn in Figure 3.12a help

us to conceptualize the problem. We can categorize this as a rel-
atively  simple  analysis  problem  in  vector  addition.  The
displacement 

R is the resultant when the two individual dis-

placements 

A and  B are  added.  We  can  further  categorize

this  as  a  problem  about  the  analysis  of  triangles,  so  we
appeal to our expertise in geometry and trigonometry.

In  this  example,  we  show  two  ways  to  analyze the  prob-

lem of finding the resultant of two vectors. The first way is to
solve  the  problem  geometrically,  using  graph  paper  and  a
protractor to measure the magnitude of 

R and its direction

in Figure 3.12a. (In fact, even when you know you are going
to be carrying out a calculation, you should sketch the vec-
tors to check your results.) With an ordinary ruler and pro-
tractor,  a  large  diagram  typically  gives  answers  to  two-digit
but not to three-digit precision.

The second way to solve the problem is to analyze it al-

gebraically.  The  magnitude  of 

R can  be  obtained  from 

the law of cosines as applied to the triangle (see Appendix
B.4).  With  ! " 180° # 60° " 120° and  R

2

"

A

2

%

B

2

#

2AB cos !, we find that

The direction of 

R measured from the northerly direc-

tion can be obtained from the law of sines (Appendix B.4):

48.2 km

"

 

"

√

(20.0 km)

2

%

(35.0 km)

2

#

2(20.0 km)(35.0 km) cos 120$

R "

√

A

2

%

B

2

#

2AB

  

cos

 

!

y(km)

40

20

60.0

°

R

A

x(km)

0

β

θ

y(km)

B

20

A

x(km)

0

–20

(b)

N

S

W

E

B

–20

R

40

β

(a)

The resultant displacement of the car is 48.2 km in a direc-
tion 39.0° west of north. 

We  now  finalize the  problem.  Does  the  angle  & that  we

calculated agree with an estimate made by looking at Figure
3.12a  or  with  an  actual  angle  measured  from  the  diagram
using the graphical method? Is it reasonable that the magni-
tude of 

R is larger than that of both A and B? Are the units

of 

R correct?

While  the  graphical  method  of  adding  vectors  works

well, it suffers from two disadvantages. First, some individu-
als  find  using  the  laws  of  cosines  and  sines  to  be  awkward.
Second, a triangle only results if you are adding two vectors.
If you are adding three or more vectors, the resulting geo-
metric shape is not a triangle. In Section 3.4, we explore a
new  method  of  adding  vectors  that  will  address  both  of
these disadvantages.

What If?

Suppose the trip were taken with the two vectors

in reverse order: 35.0 km at 60.0° west of north first, and then
20.0 km due north. How would the magnitude and the direc-
tion of the resultant vector change?

Answer They  would  not  change.  The  commutative  law
for vector addition tells us that the order of vectors in an
addition is irrelevant. Graphically, Figure 3.12b shows that
the  vectors  added  in  the  reverse  order  give  us  the  same
resultant vector.

& "

39.0$

sin

 

& "

'
R

 sin

 

! "

35.0 km

48.2 km 

 

sin

 

120$ " 0.629

sin

 

&

B

"

sin

 

!

R

Figure 3.12 (Example 3.2) (a) Graphical method for

finding the resultant displacement vector R " A % B.

(b) Adding the vectors in reverse order (B % A) gives

the same result for R.