Physics For Scientists And Engineers 6E - part 11

S E C T I O N   2 . 6     •     Freely Falling Objects

41

are  released.  Any  freely  falling  object  experiences  an  acceleration  directed
downward, regardless of its initial motion.

We shall denote the magnitude of the free-fall acceleration by the symbol g. The value of

g near the Earth’s surface decreases with increasing altitude. Furthermore, slight varia-
tions in g occur with changes in latitude. It is common to define “up” as the % y direction
and to use y as the position variable in the kinematic equations. At the Earth’s surface,
the value of g is approximately 9.80 m/s

2

. Unless stated otherwise, we shall use this value

for g when performing calculations. For making quick estimates, use g ! 10 m/s

2

.

If  we  neglect  air  resistance  and  assume  that  the  free-fall  acceleration  does  not  vary

with altitude over short vertical distances, then the motion of a freely falling object mov-
ing  vertically  is  equivalent  to  motion  in  one  dimension  under  constant  acceleration.
Therefore, the equations developed in Section 2.5 for objects moving with constant accel-
eration can be applied. The only modification that we need to make in these equations
for freely falling objects is to note that the motion is in the vertical direction (the y direc-
tion) rather than in the horizontal direction (x) and that the acceleration is downward
and has a magnitude of 9.80 m/s

2

. Thus, we always choose a

y

! #

g ! # 9.80 m/s

2

, where

the  negative  sign  means  that  the  acceleration  of  a  freely  falling  object  is  downward.  In
Chapter 13 we shall study how to deal with variations in g with altitude.

Quick Quiz 2.6

A ball is thrown upward. While the ball is in free fall, does its

acceleration (a) increase (b) decrease (c) increase and then decrease (d) decrease and
then increase (e) remain constant?

Quick  Quiz  2.7

After  a  ball  is  thrown  upward  and  is  in  the  air,  its  speed 

(a)  increases  (b)  decreases  (c)  increases  and  then  decreases  (d)  decreases  and  then 
increases (e) remains the same.

Conceptual Example 2.9 The Daring Sky Divers

A sky diver jumps out of a hovering helicopter. A few seconds
later, another sky diver jumps out, and they both fall along the
same vertical line. Ignore air resistance, so that both sky divers
fall  with  the  same  acceleration.  Does  the  difference  in  their
speeds stay the same throughout the fall? Does the vertical dis-
tance between them stay the same throughout the fall?

Solution At any given instant, the speeds of the divers are
different because one had a head start. In any time interval

$

t after  this  instant,  however,  the  two  divers  increase  their

speeds by the same amount because they have the same ac-
celeration. Thus, the difference in their speeds remains the
same throughout the fall. 

The first jumper always has a greater speed than the sec-

ond.  Thus,  in  a  given  time  interval,  the  first  diver  covers  a
greater distance than the second. Consequently, the separa-
tion distance between them increases.

Example 2.10 Describing the Motion of a Tossed Ball

A ball is tossed straight up at 25 m/s. Estimate its velocity at
1-s intervals.

Solution Let us choose the upward direction to be positive.
Regardless  of  whether  the  ball  is  moving  upward  or  down-
ward, its vertical velocity changes by approximately # 10 m/s
for every second it remains in the air. It starts out at 25 m/s.
After 1 s has elapsed, it is still moving upward but at 15 m/s
because  its  acceleration  is  downward  (downward  accelera-
tion causes its velocity to decrease). After another second, its
upward velocity has dropped to 5 m/s. Now comes the tricky

part—after  another  half  second,  its  velocity  is  zero.  The 
ball has gone as high as it will go. After the last half of this 
1-s interval, the ball is moving at # 5 m/s. (The negative sign
tells us that the ball is now moving in the negative direction,
that  is,  downward.  Its  velocity  has  changed  from  % 5 m/s  to
#

5 m/s  during  that  1-s  interval.  The  change  in  velocity  is

still  # 5 m/s # (% 5 m/s) ! # 10 m/s  in  that  second.)  It
continues downward, and after another 1 s has elapsed, it is
falling at a velocity of # 15 m/s. Finally, after another 1 s, it
has  reached  its  original  starting  point  and  is  moving  down-
ward at # 25 m/s. 

▲

PITFALL PREVENTION

2.7 The Sign of g

Keep  in  mind  that  g is  a  positive
number—it  is  tempting  to  substi-
tute # 9.80 m/s

2

for g, but resist

the  temptation.  Downward  gravi-
tational  acceleration  is  indicated
explicitly  by  stating  the  accelera-
tion as a

y

! #

g.

▲

PITFALL PREVENTION

2.8 Acceleration at the

Top of The Motion

It  is  a  common  misconception
that the acceleration of a projec-
tile  at  the  top  of  its  trajectory
is zero.  While  the  velocity  at  the
top  of  the  motion  of  an  object
thrown upward momentarily goes
to  zero,  the  acceleration  is  still  that
due  to  gravity at  this  point.  If  the
velocity  and  acceleration  were
both  zero,  the  projectile  would
stay at the top!

42

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

Conceptual Example 2.11 Follow the Bouncing Ball

A tennis ball is dropped from shoulder height (about 1.5 m)
and bounces three times before it is caught. Sketch graphs
of  its  position,  velocity,  and  acceleration  as  functions  of
time, with the % y direction defined as upward.

Solution For  our  sketch  let  us  stretch  things  out  horizon-
tally  so  that  we  can  see  what  is  going  on.  (Even  if  the  ball
were  moving  horizontally,  this  motion  would  not  affect  its
vertical motion.)

From Figure 2.13a we see that the ball is in contact with

the floor at points ", $, and &. Because the velocity of the
ball  changes  from  negative  to  positive  three  times  during
these  bounces  (Fig.  2.13b),  the  slope  of  the  position–time
graph must change in the same way. Note that the time in-
terval between bounces decreases. Why is that?

During  the  rest  of  the  ball’s  motion,  the  slope  of  the 

velocity–time  graph  in  Fig.  2.13b  should  be  # 9.80 m/s

2

.

The  acceleration–time  graph  is  a  horizontal  line  at  these
times  because  the  acceleration  does  not  change  when  the
ball is in free fall. When the ball is in contact with the floor,
the  velocity  changes  substantially  during  a  very  short  time

interval,  and  so  the  acceleration  must  be  quite  large  and
positive. This corresponds to the very steep upward lines on
the  velocity–time  graph  and  to  the  spikes  on  the  accelera-
tion–time graph.

(a)

1.0

0.0

0.5

1.5

!

#

%

"

$

&

1

0

4

0

–4

–4

–8

–12

t

A

t

B

t

C

t

D

t

E

t

F

y(m)

v

y

(m/s)

a

y

(m/s

2

)

t(s)

t(s)

t(s)

(b)

Active Figure 2.13 (Conceptual Example 2.11) (a) A ball is dropped from a height of

1.5 m and bounces from the floor. (The horizontal motion is not considered here

because it does not affect the vertical motion.) (b) Graphs of position, velocity, and

acceleration versus time.

Quick Quiz 2.8

Which values represent the ball’s vertical velocity and accel-

eration at points !, #, and % in Figure 2.13a?

(a) v

y

!

0, a

y

! #

9.80 m/s

2

(b) v

y

!

0, a

y

!

9.80 m/s

2

(c) v

y

!

0, a

y

!

0

(d) v

y

! #

9.80 m/s, a

y

!

0

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can adjust both

the value for g and the amount of “bounce” of the ball, and observe the

resulting motion of the ball both pictorially and graphically.

S E C T I O N   2 . 6     •     Freely Falling Objects

43

Example 2.12 Not a Bad Throw for a Rookie!

A stone thrown from the top of a building is given an initial
velocity of 20.0 m/s straight upward. The building is 50.0 m
high,  and  the  stone  just  misses  the  edge  of  the  roof  on  its
way down, as shown in Figure 2.14. Using t

A

!

0 as the time

the  stone  leaves  the  thrower’s  hand  at  position  !,  deter-
mine 

(A)

the time at which the stone reaches its maximum

height, 

(B)

the maximum height, 

(C)

the time at which the

stone  returns  to  the  height  from  which  it  was  thrown, 

(D)

the velocity of the stone at this instant, and 

(E)

the veloc-

ity and position of the stone at t ! 5.00 s.

Solution (A) As the stone travels from ! to ", its velocity
must change by 20 m/s because it stops at ". Because grav-
ity  causes  vertical  velocities  to  change  by  about  10 m/s  for
every second of free fall, it should take the stone about 2 s
to  go  from  ! to  " in  our  drawing.  To  calculate  the  exact
time t

B

at which the stone reaches maximum height, we use

Equation  2.9,  v

y B

!

v

yA

%

a

y

t , noting that  v

y B

!

0  and  set-

ting the start of our clock readings at t

A

!

0:

0 ! 20.0 m/s % (# 9.80 m/s

2

)t

Our estimate was pretty close.

(B) Because  the  average  velocity  for  this  first  interval  is
10 m/s  (the  average  of  20 m/s  and  0 m/s)  and  because  it
travels  for  about  2 s,  we  expect  the  stone  to  travel  about
20 m.  By  substituting  our  time  into  Equation  2.12,  we  can
find the maximum height as measured from the position of
the thrower, where we set y

A

!

0:

Our free-fall estimates are very accurate.

(C) There  is  no  reason  to  believe  that  the  stone’s  motion
from  " to  # is  anything  other  than  the  reverse  of  its  mo-
tion from ! to ". The motion from ! to # is symmetric.
Thus, the time needed for it to go from ! to # should be
twice the time needed for it to go from ! to ". When the
stone is back at the height from which it was thrown (posi-
tion #), the y coordinate is again zero. Using Equation 2.12,
with y

C

!

0, we obtain

This  is  a  quadratic  equation  and  so  has  two  solutions  for 
t ! t

C

. The equation can be factored to give

t(20.0 # 4.90t) ! 0

One solution is t ! 0, corresponding to the time the stone 

starts its motion. The other solution is 

which  

t ! 4.08 s,

0 ! 0 % 20.0t # 4.90t

2

y

C

 ! y

A

%

v

y

A

t %

1

2

 

a

y

t

2

20.4 m

!

 y

B

!

0 % (20.0 m/s)(2.04 s) %

1

2

(#9.80 m/s

2

)(2.04 s)

2

y

max

!

y

B

!

y

A

%

v

x

A

t %

1

2

 

a

y

t

2

2.04 s

t ! t

B

 !

20.0 m/s

9.80 m/s

2

!

%

$

#

"

!

  t

D

 = 5.00 s

  y

D

 = –22.5 m

v

y

D

 = –29.0 m/s

a

y

D

 = –9.80 m/s

2

  t

C

 = 4.08 s

  y

C

 = 0

v

y

C

 = –20.0 m/s

a

y

C

 = –9.80 m/s

2

  t

B

 = 2.04 s

  y

B

 = 20.4 m

v

y

B

 = 0

a

y

B

 = –9.80 m/s

2

50.0 m

  t

E

 = 5.83 s

  y

E

 = –50.0 m

v

y

E

 = –37.1 m/s

a

y

E

 = –9.80 m/s

2

  t

A

 = 0

  y

A

 = 0

v

y

A

 = 20.0 m/s

a

y

A

 = –9.80 m/s

2

!

Figure 2.14 (Example 2.12) Position and velocity versus time

for a freely falling stone thrown initially upward with a velocity

v

yi

!

20.0 m/s.

is the solution we are after. Notice that it is double the value
we calculated for t

B

.

(D) Again, we expect everything at # to be the same as it is
at !, except that the velocity is now in the opposite direc-
tion. The value for t found in (c) can be inserted into Equa-
tion 2.9 to give

The velocity of the stone when it arrives back at its original
height is equal in magnitude to its initial velocity but oppo-
site in direction. 

#

20.0 m/s

!

v

y

C

!

v

y

A

%

a

y

t ! 20.0 m/s % (#9.80 m/s

2

)(4.08 s)

Interactive

position of the stone at t

D

!

5.00 s (with respect to t

A

!

0)

by defining a new initial instant, t

C

!

0:

What  If?

What  if  the  building  were  30.0 m  tall  instead  of

50.0 m  tall?  Which  answers  in  parts  (A)  to  (E)  would
change?

Answer None  of  the  answers  would  change.  All  of  the
motion takes place in the air, and the stone does not inter-
act  with  the  ground  during  the  first  5.00 s.  (Notice  that
even  for  a  30.0-m  tall  building,  the  stone  is  above  the
ground at  t ! 5.00 s.) Thus, the height of the building is
not an issue. Mathematically, if we look back over our cal-
culations, we see that we never entered the height of the
building into any equation.

#

22.5 m

!

%

1

2

 

(# 9.80 m/s

2

)(5.00 s #4.08 s)

2

 ! 0 % (#20.0 m/s)(5.00 s # 4.08 s)

y

D

 ! y

C

%

v

y

C

t %

1

2

 

a

y

t

2

(E) For  this  part  we  ignore  the  first  part  of  the  motion
(! : ") and consider what happens as the stone falls from
position  ",  where  it  has  zero  vertical  velocity,  to  position
$

. We define the initial time as t

B

!

0. Because the given

time for this part of the motion relative to our new zero of
time is 5.00 s # 2.04 s ! 2.96 s, we estimate that the acceler-
ation  due  to  gravity  will  have  changed  the  speed  by  about
30 m/s. We can calculate this from Equation 2.9, where we
take t ! 2.96 s:

We  could  just  as  easily  have  made  our  calculation  be-

tween  positions  ! (where  we  return  to  our  original  initial
time t

A

!

0) and $:

To further demonstrate that we can choose different ini-

tial  instants  of  time,  let  us  use  Equation  2.12  to  find  the

! #

29.0 m/s

v

y

D

!

v

y

A

%

a

y

t ! 20.0 m/s % (# 9.80 m/s

2

)(5.00 s)

#

29.0 m/s

!

v

y

D

!

v

y

B

%

a

y

t ! 0 m/s % (# 9.80 m/s

2

)(2.96 s)

44

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

v

x

t

Area = v

xn

 

∆t

n

∆t

 

n

t

 

i

t

 

f

v

xn

Figure 2.15 Velocity versus

time for a particle moving

along the x axis. The area of

the shaded rectangle is equal

to the displacement $x in the

time interval $t

n

, while the

total area under the curve is

the total displacement of the

particle.

2.7 Kinematic Equations Derived from Calculus

This section assumes the reader is familiar with the techniques of integral calculus.

If you have not yet studied integration in your calculus course, you should skip this sec-
tion or cover it after you become familiar with integration.

The velocity of a particle moving in a straight line can be obtained if its position as

a function of time is known. Mathematically, the velocity equals the derivative of the
position with respect to time. It is also possible to find the position of a particle if its ve-
locity is known as a function of time. In calculus, the procedure used to perform this
task is referred to either as integration or as finding the antiderivative. Graphically, it is
equivalent to finding the area under a curve.

Suppose  the  v

x

-t graph  for  a  particle  moving  along  the  x axis  is  as  shown  in 

Figure  2.15.  Let  us  divide  the  time  interval  t

f

#

t

i

into  many  small  intervals,  each  of

You can study the motion of the thrown ball at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.