Physics For Scientists And Engineers 6E - part 10

The slope  of  the  tangent  line  to  this  curve  at  t ! 0  equals  the  initial  velocity  v

xi

,

and the  slope  of  the  tangent  line  at  any  later  time  t equals  the  velocity  v

xf

at  that

time.

Finally, we can obtain an expression for the final velocity that does not contain

time  as  a  variable  by  substituting  the  value  of  t from  Equation  2.9  into  Equation
2.11:

(2.13)

This equation provides the final velocity in terms of the acceleration and the displace-
ment of the particle.

For motion at zero acceleration, we see from Equations 2.9 and 2.12 that 

v

xf

!

v

xi

!

v

x

when a

x

!

0

x

f

!

x

i

%

v

x

t

That is, when the acceleration of a particle is zero, its velocity is constant and its posi-
tion changes linearly with time.

v

2

xf

!

v

2

xi

%

2a

x

 (x

f

#

x

i

)

   

(for constant a

x

)

x

f

!

x

i

%

1

2

 (v

xi

%

v

xf

) 

"

v

xf

#

v

xi

a

x

#

!

v

2

xf

#

v

2

xi

2a

x

t

v

x

(a)

t

a

x

(d)

t

v

x

(b)

t

a

x

(e)

t

v

x

(c)

t

a

x

(f)

Active Figure 2.11 (Quick Quiz 2.5) Parts (a),

(b), and (c) are v

x

-t graphs of objects in one-

dimensional motion. The possible accelerations of

each object as a function of time are shown in

scrambled order in (d), (e), and (f).

Quick Quiz 2.5

In Figure 2.11, match each v

x

-t graph on the left with the

a

x

-t graph on the right that best describes the motion.

S E C T I O N   2 . 5     •     One-Dimensional Motion with Constant Acceleration

37

Velocity as a function of

position

}

Equations 2.9 through 2.13 are 

kinematic equations that may be used to solve

any  problem  involving  one-dimensional  motion  at  constant  acceleration. Keep 
in  mind  that  these  relationships  were  derived  from  the  definitions  of  velocity  and 

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can practice

matching appropriate velocity vs. time

graphs and acceleration vs. time graphs.

Example 2.6 Entering the Traffic Flow

Granted, we made many approximations along the way, but

this type of mental effort can be surprisingly useful and

often  yields  results  that  are  not  too  different  from

those  derived  from  careful  measurements. Do  not  be
afraid to attempt making educated guesses and doing some
fairly  drastic  number  rounding  to  simplify  estimations.
Physicists engage in this type of thought analysis all the time.

(B)

How far did you go during the first half of the time in-

terval during which you accelerated?

Solution Let  us  assume  that  the  acceleration  is  constant,
with  the  value  calculated  in  part  (A).  Because  the  motion
takes place in a straight line and the velocity is always in the
same direction, the distance traveled from the starting point
is equal to the final position of the car. We can calculate the
final position at 5 s from Equation 2.12:

This result indicates that if you had not accelerated, your
initial  velocity  of  10  m/s  would  have  resulted  in  a  50-m
movement  up  the  ramp  during  the  first  5 s.  The  addi-
tional 25 m is the result of your increasing velocity during
that interval.

75 m

!

$ 0 % (10 m/s)(5 s) %

1

2

 (2 m/s

2

)(5 s)

2

!

50 m % 25 m

x

f

!

x

i

%

v

xi

t %

1

2

a

x

t

2

(A)

Estimate your average acceleration as you drive up the

entrance ramp to an interstate highway.

Solution This  problem  involves  more  than  our  usual
amount of estimating! We are trying to come up with a value
of a

x

, but that value is hard to guess directly. The other vari-

ables involved in kinematics are position, velocity, and time.
Velocity  is  probably  the  easiest  one  to  approximate.  Let  us
assume a final velocity of 100 km/h, so that you can merge
with  traffic.  We  multiply  this  value  by  (1 000 m/1 km)  to
convert  kilometers  to  meters  and  then  multiply  by
(1 h/3 600 s) to convert hours to seconds. These two calcu-
lations  together  are  roughly  equivalent  to  dividing  by  3.
In fact, let us just say that the final velocity is v

xf

$ 30 m/s.

(Remember,  this  type  of  approximation  and  the  dropping
of  digits  when  performing  estimations  is  okay.  If  you  were
starting  with  U.S.  customary  units,  you  could  approximate
1 mi/h as roughly 0.5 m/s and continue from there.)

Now we assume that you started up the ramp at about one

third  your  final  velocity,  so  that  v

xi

$ 10 m/s.  Finally,  we  as-

sume that it takes about 10 s to accelerate from v

xi

to v

xf

, bas-

ing this guess on our previous experience in automobiles. We
can then find the average acceleration, using Equation 2.6:

2 m/s

2

!

a

x 

!

v

xf

#

v

xi

t

$

30 m/s # 10 m/s

10 s

Equation

Information Given by Equation

Velocity as a function of time
Position as a function of velocity and time
Position as a function of time
Velocity as a function of position

Note: Motion is along the x axis.

v

xf

2

!

v

xi

2

%

2a

x

(x

f

#

x

i

)

x

f

!

x

i

%

v

xi

t %

1

2

a

x

t

2

x

f

!

x

i

%

1

2

(v

xi

%

v

xf

)t

v

xf

!

v

xi

%

a

x

t

Kinematic Equations for Motion of a Particle Under Constant Acceleration

Table 2.2

acceleration, together with some simple algebraic manipulations and the requirement
that the acceleration be constant.

The  four  kinematic  equations  used  most  often  are  listed  in  Table  2.2  for  conve-

nience.  The  choice  of  which  equation  you  use  in  a  given  situation  depends  on  what
you know beforehand. Sometimes it is necessary to use two of these equations to solve
for  two  unknowns.  For  example,  suppose  initial  velocity  v

xi

and  acceleration  a

x

are

given. You can then find (1) the velocity at time t, using v

xf

!

v

xi

%

a

x

t and (2) the po-

sition  at  time  t,  using 

.  You  should  recognize  that  the  quantities

that vary during the motion are position, velocity, and time.

You will gain a great deal of experience in the use of these equations by solving a

number of exercises and problems. Many times you will discover that more than one
method can be used to obtain a solution. Remember that these equations of kinemat-
ics cannot be used in a situation in which the acceleration varies with time. They can be
used only when the acceleration is constant.

x

f

!

x

i

%

v

xi

t %

1

2

a

x

t

2

38

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

S E C T I O N   2 . 5     •     One-Dimensional Motion with Constant Acceleration

39

Example 2.7 Carrier Landing

If the plane travels much farther than this, it might fall into
the ocean. The idea of using arresting cables to slow down
landing  aircraft  and  enable  them  to  land  safely  on  ships
originated at about the time of the first World War. The ca-
bles are still a vital part of the operation of modern aircraft
carriers.

What  If?

Suppose  the  plane  lands  on  the  deck  of  the  air-

craft  carrier  with  a  speed  higher  than  63 m/s  but  with  the
same acceleration as that calculated in part (A). How will that
change the answer to part (B)? 

Answer If the plane is traveling faster at the beginning, it
will stop farther away from its starting point, so the answer
to part (B) should be larger. Mathematically, we see in Equa-
tion 2.11 that if v

xi

is larger, then x

f

will be larger. 

If the landing deck has a length of 75 m, we can find the

maximum  initial  speed  with  which  the  plane  can  land  and
still come to rest on the deck at the given acceleration from
Equation 2.13:

!

68 m/s

 !

√

0 # 2(#31 m/s

2

)(75 m # 0)

:

v

xi 

!

√

v

xf

 

2

#

2a

x

 (x

f

#

x

i

)

v

2

xf

!

v

2

xi

%

2a

x

 (x

f

#

x

i

)

A jet lands on an aircraft carrier at 140 mi/h (

$ 63 m/s).

(A)

What is its acceleration (assumed constant) if it stops in

2.0 s  due  to  an  arresting  cable  that  snags  the  airplane  and
brings it to a stop?

Solution We define our x axis as the direction of motion of
the jet. A careful reading of the problem reveals that in ad-
dition  to  being  given  the  initial  speed  of  63 m/s,  we  also
know that the final speed is zero. We also note that we have
no information about the change in position of the jet while
it  is  slowing  down.  Equation  2.9  is  the  only  equation  in
Table 2.2 that does not involve position, and so we use it to
find the acceleration of the jet, modeled as a particle:

(B)

If the plane touches down at position x

i

!

0, what is the

final position of the plane?

Solution We can now use any of the other three equations
in  Table  2.2  to  solve  for  the  final  position.  Let  us  choose
Equation 2.11:

63 m

!

x

f

!

x

i

%

1

2

(v

xi

%

v

xf

)t ! 0 %

1

2

(63 m/s % 0)(2.0 s)

#

31 m/s

2

!

a

x

!

v

xf

#

v

xi

t

$

0 # 63 m/s

2.0 s

Example 2.8 Watch Out for the Speed Limit!

A  car  traveling  at  a  constant  speed  of  45.0 m/s  passes  a
trooper  hidden  behind  a  billboard.  One  second  after  the
speeding  car  passes  the  billboard,  the  trooper  sets  out 
from  the  billboard  to  catch  it,  accelerating  at  a  constant 
rate  of  3.00 m/s

2

.  How  long  does  it  take  her  to  overtake 

the car?

Solution Let us model the car and the trooper as particles.
A sketch (Fig. 2.12) helps clarify the sequence of events.

First, we write expressions for the position of each vehi-

cle as a function of time. It is convenient to choose the posi-
tion  of  the  billboard  as  the  origin  and  to  set  t

B

!

0  as  the

time the trooper begins moving. At that instant, the car has
already traveled a distance of 45.0 m because it has traveled
at a constant speed of v

x

!

45.0 m/s for 1 s. Thus, the initial

position of the speeding car is x

B

!

45.0 m.

Because the car moves with constant speed, its accelera-

tion  is  zero.  Applying  Equation  2.12  (with  a

x

!

0)  gives  for

the car’s position at any time t:

A quick check shows that at t ! 0, this expression gives the
car’s  correct  initial  position  when  the  trooper  begins  to
move: x

car

!

x

B

!

45.0 m.

The trooper starts from rest at t

B

!

0 and accelerates at

3.00 m/s

2

away from the origin. Hence, her position at any

x

car

!

x

B

%

v

x car

t ! 45.0 m % (45.0 m/s)t

time t can be found from Equation 2.12: 

x

trooper

!

0 % (0)t %

1

2

 

a

x

t

2

!

1

2

 

(3.00 m/s

2

)t

2

 x

f

!

x

i

%

v

xi

t %

1

2

 

a

x

t

2

v

x car 

= 45.0 m/s

a

x car 

= 0

a

x trooper 

= 3.00 m/s

2

t

C

 

= ?

#

!

t

A

 

= –1.00 s

t

B

 

= 0

"

Figure 2.12 (Example 2.8) A speeding car passes a hidden

trooper.

Interactive

2.6 Freely Falling Objects

It  is  well  known  that,  in  the  absence  of  air  resistance,  all  objects  dropped  near  the
Earth’s surface fall toward the Earth with the same constant acceleration under the in-
fluence  of  the  Earth’s  gravity.  It  was  not  until  about  1600  that  this  conclusion  was
accepted. Before that time, the teachings of the great philosopher Aristotle (384–322

B

.

C

.) had held that heavier objects fall faster than lighter ones.

The Italian Galileo Galilei (1564–1642) originated our present-day ideas concern-

ing falling objects. There is a legend that he demonstrated the behavior of falling ob-
jects by observing that two different weights dropped simultaneously from the Leaning
Tower of Pisa hit the ground at approximately the same time. Although there is some
doubt that he carried out this particular experiment, it is well established that Galileo
performed  many  experiments  on  objects  moving  on  inclined  planes.  In  his  experi-
ments he rolled balls down a slight incline and measured the distances they covered in
successive  time  intervals.  The  purpose  of  the  incline  was  to  reduce  the  acceleration;
with the acceleration reduced, Galileo was able to make accurate measurements of the
time intervals. By gradually increasing the slope of the incline, he was  finally able to
draw conclusions about freely falling objects because a freely falling ball is equivalent
to a ball moving down a vertical incline.

You might want to try the following experiment. Simultaneously drop a coin and a

crumpled-up piece of paper from the same height. If the effects of air resistance are neg-
ligible, both will have the same motion and will hit the floor at the same time. In the ide-
alized case, in which air resistance is absent, such motion is referred to as free-fall. If this
same experiment could be conducted in a vacuum, in which air resistance is truly negli-
gible, the paper and coin would fall with the same acceleration even when the paper is
not crumpled. On August 2, 1971, such a demonstration was conducted on the Moon by
astronaut David Scott. He simultaneously released a hammer and a feather, and they fell
together to the lunar surface. This demonstration surely would have pleased Galileo!

When we use the expression freely falling object, we do not necessarily refer to an ob-

ject dropped from rest. 

A freely falling object is any object moving freely under

the  influence  of  gravity  alone,  regardless  of  its  initial  motion.  Objects  thrown
upward or downward and those released from rest are all falling freely once they

40

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

The  trooper  overtakes  the  car  at  the  instant  her  position
matches that of the car, which is position #:

This gives the quadratic equation

The positive solution of this equation is t ! 31.0 s.

(For help in solving quadratic equations, see Appendix B.2.)

What If?

What if the trooper had a more powerful motorcy-

cle  with  a  larger  acceleration?  How  would  that  change  the
time at which the trooper catches the car? 

Answer If  the  motorcycle  has  a  larger  acceleration,  the
trooper will catch up to the car sooner, so the answer for the

1.50t

2

#

45.0t # 45.0 ! 0

1

2

(3.00 m/s

2

)t

2

!

45.0 m % (45.0 m/s)t

x

trooper

!

x

car

time will be less than 31 s. Mathematically, let us cast the fi-
nal quadratic equation above in terms of the parameters in
the problem:

The solution to this quadratic equation is,

where  we  have  chosen  the  positive  sign  because  that  is  the
only  choice  consistent  with  a  time  t & 0.  Because  all  terms
on the right side of the equation have the acceleration a

x

in

the  denominator,  increasing  the  acceleration  will  decrease
the time at which the trooper catches the car.

 !

v

x

 

car

a

x

%

√

v

2

x car

a

2

x

%

2x

B

a

x

t !

v

x car

*

√

v

2

x car

%

2a

x

x

B

a

x

1

2

a

x

t

2

#

v

x car

t

 

#

x

B

!

0

▲

PITFALL PREVENTION

2.6 g and g

Be  sure  not  to  confuse  the  itali-
cized  symbol  g for  free-fall  accel-
eration  with  the  nonitalicized
symbol g used as the abbreviation
for “gram.”

You can study the motion of the car and trooper for various velocities of the car at the Interactive Worked Example link at
http://www.pse6.com.

Galileo Galilei

Italian physicist and
astronomer (1564–1642)

Galileo formulated the laws that

govern the motion of objects in

free fall and made many other

significant discoveries in physics

and astronomy. Galileo publicly

defended Nicholaus Copernicus’s

assertion that the Sun is at the

center of the Universe (the

heliocentric system). He

published Dialogue Concerning

Two New World Systems to

support the Copernican model, a

view which the Church declared

to be heretical. (North Wind)