Electrical Engineering Dictionary - part 102

tions, thereby promoting understanding and
simplifying computation.

linear approximation

any technique used

for the purpose of analysis and design of non-
linear systems. For example, one way of an-
alyzing the stability of a system described by
nonlinear differential equations is to linearize
the equations around the equilibrium point of
interest and check the location of the eigen-
values of the linear system approximation.

linear block code

a block coding scheme

for which the mapping can be described by a
linear transformation of the message block.
The transformation matrix is referred to as
the generator matrix.

linear code

a forward error control code

or line code whose code words form a vec-
tor space. Equivalently, a code where the
element-wise finite field addition of any two
code words forms another code word.

linear constant-coefficient equation

a

general

Nth-order linear constant-coefficient

differential equation is of the form

N

X

0

a

k

d

k

y(t)

dt

k

=

M

X

0

b

k

d

k

x(t)

dt

k

while an

Nth-order linear constant-coefficient

difference equation is of the form

N

X

0

a

k

y[n − k] =

M

X

0

b

k

x[n − k]

Linear constant-coefficient equations at ini-
tial rest are linear time invariant and causal,
and can be conveniently analyzed using
transform techniques.

linear dynamic range of Bragg cell
regime of cell operation where the amplitude
of the principal diffracted beam is approx-
imately proportional to the acoustic signal
amplitude modulating the acousto-optic in-
teraction medium.

linear filter

a filter whose output signal

is a linear function of the input (that is, input
and output are related via a convolution). See
also

convolution

,

linear system

.

linear generator

See

linear machine

.

linear interpolation

linear interpolation

is a procedure for approximately reconstruct-
ing a function from its samples, whereby
adjacent sample points are connected by a
straight line.

linear least squares estimator (LLSE)

the linear estimator

ˆx = Ky + c,

where matrix

K and vector c are cho-

sen to minimize the expected squared error
E



( ˆx − x)

T

( ˆx − x)



.

The general LLSE

solution to estimate a random vector

x based

on measurements

y is given by

ˆx(y) = E[x] + cov(x, y)

· cov(y, y)

−1

· (y − E[y])

where “cov” represents the covariance op-
eration. See also

least squares

,

covariance

,

expectation

,

minimum mean square estimator

.

linear load

an electrical load with a cur-

rent that is linearly proportional to the voltage
supplied.

linear machine

a machine in which the

moving member constitutes linear motion in-
stead of the more conventional rotary motion.
Each of the rotary machine types can be pro-
duced in linear versions. The most widely
known use of linear motors are in the field
of transportation, where the stator is usually
the moving vehicle and the conducting rotors
are the rails. In these machines, the induced
currents provide levitation in addition to pro-
viding the main propulsion.

linear medium

(1) medium in which the

constitutive parameters are not functions of
the electric or magnetic field amplitudes.

c

2000 by CRC Press LLC

(2) medium in which any response is di-

rectly proportional in magnitude to the mag-
nitude of the applied field.

linear motor

See

linear machine

.

linear multistep method

this is a class

of techniques for solving ordinary differen-
tial equations which is widely used in circuit
simulators.

linear network

a network in which the

parameters of resistance, inductance and ca-
pacitance are constant with respect to voltage
or current or the rate of change of voltage or
current and in which the voltage or current
of sources is either independent of or propor-
tional to other voltages or currents, or their
derivatives.

linear phase

system where the phase shift

produced by the filter at frequency

w is a lin-

ear function of

w (

6

H(w) = dw). If a signal

x(t) is passed through a unit magnitude, lin-
ear phase filter with slope

d, the output signal

will be

x(t +d), the input signal time-shifted

by

d seconds.

linear polarization

a polarization state of

a radiated electromagnetic field in which the
tip of the electric field vector remains on a
line and does not rotate as a function of time
for a fixed position.

linear prediction

for a stochastic process,

the prediction of its samples based upon de-
termining a linear model capable of estimat-
ing the samples with minimal quadratic error.

linear prediction based speech coding
See

linear predictive coding

.

linear predictive coding

speech coding

methods where short-term redundancy of the
speech signal is removed by linear prediction
analysis prior to encoding. See also

adaptive

differential pulse code modulation

.

linear predictor

a predictor that uses

a weighted sum of

K previous samples of

the original signal with

α

i

, i = 1, . . . , K as

weights.

linear quadratic control

for a linear de-

terministic plant, the problem of determining
the control structure that minimizes the per-
formance index.

Given a plant in the form of the state-space

equation

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

The associated performance index is the
quadratic form

J =

1

2

x(T )S(T )x(T )

+

1

2

Z

T

t

0

(x

T

(t)Qx(t) + u

T

(t)Ru(t)dt

with symmetric weighting matrices

S(T ) ≥

0,

Q ≥ 0, R > 0. Both plant and weight-

ing matrices can be functions of time. Lin-
ear quadratic control is the problem of deter-
mining the control

u

o

(t) on (t

0

, T ) that min-

imizes the performance index

J with x(T )

free and

T fixed. Also called LQ control.

linear quadratic Gaussian control

for

a plant, the problem of finding the control
structure that minimizes the expected cost.

The linear stochastic plant is given in the

following state-space form:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t)

with white noise

w(t) and x(t

0

) a random

variable. The associated performance index
is the quadratic form

J =

1

2

x

T

(T )S(T )x(T )

+

1

2

Z

T

t

0

(x

T

(t)Qx(t) + u

T

(t)Ru(t)dt

with symmetric weighting matrices

S(T ) ≥

0,

Q ≥ 0, R > 0. The plant and weighting

c

2000 by CRC Press LLC

matrices can be functions of time. It is de-
sired to determine the control

u

o

on

(t

0

, T )

which minimizes the expected cost

j = E(J )

with

x(T ) free and T fixed. This problem is

called the linear quadratic Gaussian control.

linear response

the characteristic of many

physical systems that some output property
changes linearly in response to some applied
input. Such systems obey the principle of
linear superposition.

linear scalar quantization

See

uniform

scalar quantization

. Also known as linear

SQ.

linear scrambler

a linear one-to-one

mapping of a codeword, c, of length

n onto

a new codeword, c

c

, also of length

n. c

c

is

determined as c

c

= S c, where S is the linear

scrambler matrix. This matrix is full rank
and, for the binary case, has all binary en-
tries. In the binary case, modulo-2 arithmetic
is performed.

linear separation

the process of deter-

mining the hyper plane that separates a given
set of patterns according to their member-
ship. Of course, such separation can only be
obtained once the patterns are linearly sepa-
rable.

linear shift invariant (LSI) system

a lin-

ear discrete-time system

T [], with y[n] =

T [x[n]] and y[n − n

0

] = T [x[n − n

0

]].

See also

linear system

,

linear time invariant

system

,

shift invariance

.

linear SQ

See

uniform scalar quantization

.

linear susceptibility

the coefficient

χ re-

lating the polarization

P of a material sys-

tem (assumed to exhibit linear response) to
the applied electric strength

E according to

P = χE.

linear system

the systems in which

the components exhibit linear characteristics,
i.e., the principle of superposition applies.
Strictly speaking, linear systems do not exist
in practice; they are idealized models purely
for the simplicity of theoretic analysis and
design. However, the system is essentially
linear when the magnitude of the signals in a
control system are limited to a range in which
the linear characteristics exist.

More formally, consider a system with

zero initial conditions such that any two in-
put/output signal pairs

{f

1

, y

1

} and {f

2

, y

2

}

satisfy the system equation. The system is
additive if the input/output pair

{f

1

+f

2

, y

1

+

y

2

} also satisfies the system equation. The

system is homogeneous if for any real con-
stant

C, the input/output pair {Cf

1

, Cy

1

} sat-

isfies the system equation. The system is
linear if it is additive and homogeneous. In
other words, for any real constants

C

1

and

C

2

,

the input/output pair

{C

1

f

1

+C

2

f

2

, C

1

, y

1

+

C

2

y

1

} satisfies the system equation. If a sys-

tem is not linear, then it is nonlinear. The
theory of linear systems is well-developed,
hence many tools exist for the analysis of sys-
tem behavior. In practice, nonlinear systems
are often approximated by a linear model so
that the tools may be exploited.

linear systems with Markov jumps

a

class of piecewise deterministic processes
that follows linear dynamics between random
jumps of parameters that in turn can be de-
scribed by finite-state Markov processes. In
the continuous-time case, linear systems with
Markov jumps could be modeled by linear
state equations of the form:

˙x(t) = A(ξ(t))x(t) + B(ξ(t))u(t)

where

t ∈ [0, T ], T being finite or infi-

nite control horizon,

x(t) ∈ R

n

is the pro-

cess state,

u(t) ∈ R

m

is the process control,

A, B are real valued matrices of respective
dimensions depending on the random pro-
cess

{ξ(t)}. This process is a continuous-time

discrete-state Markov process taking values
in a finite set S

= {1, 2, . . . , s} called mode

c

2000 by CRC Press LLC

with transition probability matrix

P = {p

ij

}

given by

p

ij

= P r(ξ(t + δt)
= j|ξ(t) = i) = q

ij

δt + O(δt)

if

i 6= j and

p

ii

= 1 + q

ii

δt + O(δt)

where

δt > 0, q

ij

is the intensitivity or tran-

sition rate from

i to j if i 6= j and

q

ii

= −q

i

= −

s

X

j=1,j6=i

q

ij

Linear systems with Markov jumps may
serve as models for continuous-time pro-
cesses subject to abrupt changes in param-
eter values because of component failures,
sudden shifts in environment or subsystems
connections. Generally, linear systems with
jumps are hybrid in the sense that their state
combines a part taking values from continu-
ous space (process state) and a part that takes
values from discrete space (mode).

linear threshold unit

a neural element

that computes the weighted sum of its inputs
and compares that sum to a threshold value.
If the sum is greater than (or equal to) the
threshold, the output of the element takes on
the value

+1. Otherwise, the output takes on

the value 0 (in a binary system) or

−1 (in a

bipolar system).

linear time invariant (LTI) system

a lin-

ear system

T [], with y(t) = T [x(t)] and

y(t − t

0

) = T [x(t − t

0

)]. See also

linear

system

,

linear shift invariant system (LSI)

,

shift invariance

.

linear time-invariant lumped-parameter
(LTIL) system

a continuous system that

can be described by an ordinary differential
equation with real constant coefficients. A
single loop RLC circuit is an example of a
linear time-invariant lumped-parameter sys-
tem (LTIL), with the following differential

equation relating the input voltage

f (t) to

the output loop current

y(t):

L

d

2

y

dt

2

+ R

dy

dt

+

1

C

y =

df

dt

A discrete time system is a LTIL system if
it can be modeled by a difference equation
with real constant coefficients. For exam-
ple, the following LTIL difference equation
represents a discrete time approximation of a
differentiator:

y[k] =

1

T

(f [k] − f [k − 1])

A large number of physical systems are LTIL
systems. Since the theory for modeling and
analysis of such systems is well developed,
LTIL systems are often used to approxi-
mately model physical processes in order to
simplify the mathematical analysis.

linear transformation

a transformation

operator

A which satisfies superposition,

A(x

1

+ x

2

) = Ax

1

+ Ax

2

and homogeneity

A(λx

1

) = λAx

1

.

For a discrete linear transform

A is a ma-

trix and

x

1

and

x

2

are vectors.

Any ma-

trix transform is linear. See

linear system

,

superposition

.

linear-feedback shift register (LFSR)

a

shift register formed by D flip-flops and ex-
clusive OR gates, chained together, with a
synchronous clock.

linear-quadratic game

one of a class

of noncooperative infinite dynamic games
with state equations linear with respect to
state variables

x and players actions u

i

; i =

1

, 2, . . . , N and cost functions quadratic with

respect to those variables with weighting ma-
trices semipositive definite for the state and
positive definite for the players actions. The
existence and uniqueness of the open-loop

c

2000 by CRC Press LLC