ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 99

Задание №1932

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 24+12√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=12

Ответ: 12

Задание №3364

Площадь параллелограмма ABCD равна 158. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=79

Ответ: 79

Задание №4040

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 71. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 71 / 4 = 17,75

Ответ: 17,75

Задание №2468

Площадь треугольника АВС равна 116. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87

Ответ: 87

Задание №3952

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 16. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=15

HO=8

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 23

Задание №4528

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 108, большая боковая сторона трапеции равна 47 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,5

Ответ: 3,5

Задание №3708

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 192. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =192 / 6 = 32

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*32=64

Ответ: 64

Задание №4906

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №2134

Дан треугольник ABC. Стороны AC=28, BC=96, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=12

Ответ: 12

Задание №2712

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 150. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=100

Ответ: 100

Задание №1898

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 106, CD= 103 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 418

Ответ: 418

Задание №4083

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 36 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=98+26=124

Ответ: 124

Задание №4237

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 42° и 80°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 42 градусов равен 180-42=138 градусов

угол противоположный углу 80 градусов равен 180-80=100 градусов

Больший из неизвестных углов 138 градусов

Ответ: 138

Задание №2413

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 20 и 29 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 49 / 2 = 24,5

Ответ: 24,5

Задание №2489

Площадь параллелограмма ABCD равна 115. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=86,25

Ответ: 86,25

Задание №3484

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 93, периметр P= 379 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=96,5

Ответ: 96,5

Задание №3005

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,25

Ответ: 34,25

Задание №1861

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 38, BC=11, CD=81. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=38+81-11=108

Ответ: 108

Задание №5425

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 61, 74. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=22+61+74=157

Ответ: 157

Задание №4871

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 60, основание равно 72 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1728

Подствавим значения и найдём полупериметр P=96

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=1728/96=18

Ответ: 18

содержание .. 97 98 99 100 ..