ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 97

Задание №1016

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №4043

Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73

Ответ: 73

Задание №4264

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №4248

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 125, основание равно 150 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=7500

Подствавим значения и найдём полупериметр P=200

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=7500/200=37,5

Ответ: 37,5

Задание №1789

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 67, CD= 61 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 256

Ответ: 256

Задание №1857

Площадь треугольника АВС равна 130. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5

Ответ: 97,5

Задание №1095

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=80+18=98

Ответ: 98

Задание №1946

Площадь параллелограмма ABCD равна 122. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,5

Ответ: 30,5

Задание №5714

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 44 и 53 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 97 / 2 = 48,5

Ответ: 48,5

Задание №5720

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 61, 86. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=25+61+86=172

Ответ: 172

Задание №3133

В треугольнике ABC AC=24, BC=45, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=9

Ответ: 9

Задание №4898

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 6, BC=2, CD=16. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=6+16-2=20

Ответ: 20

Задание №2017

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 38° и 120°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 38 градусов равен 180-38=142 градусов

угол противоположный углу 120 градусов равен 180-120=60 градусов

Больший из неизвестных углов 142 градусов

Ответ: 142

Задание №1557

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 102. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 102 / 4 = 25,5

Ответ: 25,5

Задание №1674

Периметр правильного шестиугольника равен 354. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =354 / 6 = 59

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*59=118

Ответ: 118

Задание №5045

Основания равнобедренной трапеции равны 96 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=60

Ответ: 60

Задание №4965

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 153, стророна AB= 35 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=41,5

Ответ: 41,5

Задание №2986

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 74, большая боковая сторона равна 29 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4

Ответ: 4

Задание №5829

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 62+31√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=31

Ответ: 31

Задание №2122

Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5

Ответ: 94,5

содержание .. 95 96 97 98 ..