|
|
содержание .. 94 95 96 97 ..
Задание №1210
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=82+20=102 Ответ: 102
Задание №2796
Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=16, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №1705
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 63, 84. Вычислите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =25+63+84=172 Ответ: 172
Задание №1602
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 93. Найдите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 93 / 4 = 23,25 Ответ: 23,25
Задание №1368 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №5984
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 10. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=8 HO=6 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=8+6=14 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 14
Задание №2225 Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 168. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=105 Ответ: 105
Задание №5649
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 115, основание равно 138 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6348 Подствавим значения и найдём полупериметр P=184 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=6348/184=34,5 Ответ: 34,5
Задание №5801
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 64, AB= 76 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 280 Ответ: 280
Задание №3674
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 255, стророна AB= 60 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=67,5 Ответ: 67,5
Задание №3788
Периметр правильного шестиугольника равен 504. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =504 / 6 = 84 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*84=168 Ответ: 168
Задание №1201
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 73, большая боковая сторона равна 32 . Рассчитайте радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 2,25 Ответ: 2,25
Задание №1417
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 28 и 16. Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 44 / 2 = 22 Ответ: 22
Задание №3979 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 130. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5 Ответ: 97,5
Задание №5127 Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66 Ответ: 66
Задание №1480 Площадь треугольника АВС равна 132. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99 Ответ: 99
Задание №4037
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 48+24√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=24 Ответ: 24
Задание №1136
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 39° и 128°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 39 градусов равен 180-39=141 градусов угол противоположный углу 128 градусов равен 180-128=52 градусов Больший из неизвестных углов 141 градусов Ответ: 141
Задание №2755
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 35, BC=9, CD=70. Найдите четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=35+70-9=96 Ответ: 96
Задание №2372 Площадь параллелограмма ABCD равна 116. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29 Ответ: 29
содержание .. 94 95 96 97 ..
|
|