|
|
содержание .. 84 85 86 87 ..
Задание №2246
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 42. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 42 / 4 = 10,5 Ответ: 10,5
Задание №2669 Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,75 Ответ: 35,75
Задание №4128
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 26 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=68+16=84 Ответ: 84
Задание №5773
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 99, AB= 107 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 412 Ответ: 412
Задание №1632 Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=109,5 Ответ: 109,5
Задание №3293
Периметр правильного шестиугольника равен 414. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =414 / 6 = 69 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*69=138 Ответ: 138
Задание №2669
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 20 и 48. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=10 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 34
Задание №3105
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 50, 62. Найдите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =17+50+62=129 Ответ: 129
Задание №4732 Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=15 Ответ: 15
Задание №3578
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 10+5√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=5 Ответ: 5
Задание №1928
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 110, ее большая боковая сторона равна 46 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 4,5 Ответ: 4,5
Задание №5643 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №1853
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 17, BC=5, CD=44. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=17+44-5=56 Ответ: 56
Задание №3034
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 7 и 14 . Вычислите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 21 / 2 = 10,5 Ответ: 10,5
Задание №4904 Площадь треугольника АВС равна 144. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108 Ответ: 108
Задание №3823
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 20° и 124°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 20 градусов равен 180-20=160 градусов угол противоположный углу 124 градусов равен 180-124=56 градусов Больший из неизвестных углов 160 градусов Ответ: 160
Задание №2475 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 149. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74,5 Ответ: 74,5
Задание №5774
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 30, основание равно 36 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=432 Подствавим значения и найдём полупериметр P=48 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=432/48=9 Ответ: 9
Задание №3288
В треугольнике ABC BC=45, AC=24, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №3561
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 194, стророна AB= 47 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=50 Ответ: 50
содержание .. 84 85 86 87 ..
|
|