содержание .. 82 83 84 85 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 84
Задание №3162
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 24, 61, 86. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=24+61+86=171 Ответ: 171
Задание №5610
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 20, основание равно 24 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=192 Подствавим значения и найдём полупериметр P=32 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=192/32=6
Ответ: 6
Задание №3312
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 56. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 56 / 4 = 14 Ответ: 14
Задание №4954
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 14, BC=3, CD=27. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=14+27-3=38 Ответ: 38
Задание №4951
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 80+40√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=40 Ответ: 40
Задание №4051
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 91, большая боковая сторона равна 42 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №4194
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 36 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=15 Ответ: 15
Задание №5107
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 33° и 123°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 33 градусов равен 180-33=147 градусов угол противоположный углу 123 градусов равен 180-123=57 градусов Больший из неизвестных углов 147 градусов Ответ: 147
Задание №2437
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 64, CD= 56 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 240 Ответ: 240
Задание №5292
Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,5 Ответ: 36,5
Задание №1252
Периметр правильного шестиугольника равен 294. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =294 / 6 = 49 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*49=98 Ответ: 98
Задание №2841
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 174, стророна AB= 40 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=47 Ответ: 47
Задание №4613
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 39 и 48. Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 87 / 2 = 43,5 Ответ: 43,5
Задание №4345
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №3455
Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70 Ответ: 70
Задание №3972
В треугольнике ABC BC=16, AC=12, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №2646
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 19 и 2, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=2 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=42+4=46 Ответ: 46
Задание №4127
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 127. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=95,25 Ответ: 95,25
Задание №4901
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №4285
Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99,75 Ответ: 99,75
содержание .. 82 83 84 85 ..