содержание .. 79 80 81 82 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 81
Задание №1937
Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99,75 Ответ: 99,75
Задание №4737
Периметр правильного шестиугольника равен 456. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =456 / 6 = 76 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*76=152 Ответ: 152
Задание №3221
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 155. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=77,5 Ответ: 77,5
Задание №5746
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 80, AB= 94 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 348 Ответ: 348
Задание №5748
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=20 HO=7 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 27
Задание №1382
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 18, BC=3, CD=23. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=18+23-3=38 Ответ: 38
Задание №1408
Площадь параллелограмма ABCD равна 115. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=28,75 Ответ: 28,75
Задание №5540
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 100, ее большая боковая сторона равна 48 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1 Ответ: 1
Задание №5982
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 64. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 64 / 4 = 16 Ответ: 16
Задание №1771
Площадь треугольника АВС равна 137. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102,75 Ответ: 102,75
Задание №2677
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 341, стророна AB= 83 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=87,5 Ответ: 87,5
Задание №2546
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 45 и 17, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=17 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=124+34=158 Ответ: 158
Задание №1438
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 270 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=180 Ответ: 180
Задание №3967
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 44° и 130°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов угол противоположный углу 130 градусов равен 180-130=50 градусов Больший из неизвестных углов 136 градусов Ответ: 136
Задание №1233
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 43, 68. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=19+43+68=130 Ответ: 130
Задание №1152
Дан треугольник ABC. Стороны AC=80, BC=84, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=24 Ответ: 24
Задание №4699
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 13 и 7 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 20 / 2 = 10 Ответ: 10
Задание №1846
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №5573
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 70, основание равно 84 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2352 Подствавим значения и найдём полупериметр P=112 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=2352/112=21
Ответ: 21
Задание №3040
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 74+37√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=37 Ответ: 37
содержание .. 79 80 81 82 ..