ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 80

Задание №5737

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=15

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 39

Задание №1253

Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5

Ответ: 94,5

Задание №5242

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 288. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=200

Ответ: 200

Задание №5179

Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25

Ответ: 31,25

Задание №3894

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 41. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 41 / 4 = 10,25

Ответ: 10,25

Задание №2218

Дан треугольник ABC. Стороны AC=20, BC=21, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №2785

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=64+16=80

Ответ: 80

Задание №3269

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 55, 73. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+55+73=149

Ответ: 149

Задание №1702

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 62+31√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=31

Ответ: 31

Задание №2530

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 38, BC=10, CD=76. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=38+76-10=104

Ответ: 104

Задание №2300

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 83, ее большая боковая сторона равна 40 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 0,75

Ответ: 0,75

Задание №3647

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 105, основание равно 126 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292

Подствавим значения и найдём полупериметр P=168

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5

Ответ: 31,5

Задание №1297

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 43° и 143°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 43 градусов равен 180-43=137 градусов

угол противоположный углу 143 градусов равен 180-143=37 градусов

Больший из неизвестных углов 137 градусов

Ответ: 137

Задание №2801

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 143. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=107,25

Ответ: 107,25

Задание №1689

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 101, CD= 92 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 386

Ответ: 386

Задание №2784

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 74, периметр P= 305 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=78,5

Ответ: 78,5

Задание №5330

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 54 и 42 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 96 / 2 = 48

Ответ: 48

Задание №1815

Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64,5

Ответ: 64,5

Задание №3790

Периметр правильного шестиугольника равен 456. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =456 / 6 = 76

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*76=152

Ответ: 152

Задание №4434

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

содержание .. 78 79 80 81 ..