содержание .. 67 68 69 70 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 69
Задание №3213
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 54, 69. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=21+54+69=144 Ответ: 144
Задание №1135
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 474. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =474 / 6 = 79 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*79=158 Ответ: 158
Задание №5526
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 15, основание равно 18 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=108 Подствавим значения и найдём полупериметр P=24 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=108/24=4,5
Ответ: 4,5
Задание №4475
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 53, AB= 60 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 226 Ответ: 226
Задание №3914
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 75, большая боковая сторона равна 34 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №2421
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 30. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=8 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 23
Задание №5065
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 68+34√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=34 Ответ: 34
Задание №5435
Дан треугольник ABC. Стороны AC=48, BC=140, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №2698
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 29 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=70+12=82 Ответ: 82
Задание №4633
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33 Ответ: 33
Задание №3217
Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102,75 Ответ: 102,75
Задание №2990
Основания равнобедренной трапеции равны 162 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=90 Ответ: 90
Задание №3170
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 44° и 94°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов угол противоположный углу 94 градусов равен 180-94=86 градусов Больший из неизвестных углов 136 градусов Ответ: 136
Задание №3601
Площадь параллелограмма ABCD равна 162. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=81 Ответ: 81
Задание №2213
Площадь треугольника АВС равна 116. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87 Ответ: 87
Задание №4455
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 12 и 23 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 35 / 2 = 17,5 Ответ: 17,5
Задание №3750
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 36, BC=11, CD=83. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=36+83-11=108 Ответ: 108
Задание №1874
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №4765
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 106. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 106 / 4 = 26,5 Ответ: 26,5
Задание №1878
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 363, стророна AB= 88 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=93,5 Ответ: 93,5
содержание .. 67 68 69 70 ..