содержание .. 66 67 68 69 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 68
Задание №1016
Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96 Ответ: 96
Задание №3230
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 47, 78. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=21+47+78=146 Ответ: 146
Задание №3756
В треугольнике ABC BC=15, AC=8, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=3 Ответ: 3
Задание №3419
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5 Ответ: 68,5
Задание №1316
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 102. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 102 / 4 = 25,5 Ответ: 25,5
Задание №5801
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 36+18√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=18 Ответ: 18
Задание №5619
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 30° и 98°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 30 градусов равен 180-30=150 градусов угол противоположный углу 98 градусов равен 180-98=82 градусов Больший из неизвестных углов 150 градусов Ответ: 150
Задание №3721
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 336. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =336 / 6 = 56 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*56=112 Ответ: 112
Задание №1287
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 25 и 14 . Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 39 / 2 = 19,5 Ответ: 19,5
Задание №5691
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 34, BC=9, CD=63. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=34+63-9=88 Ответ: 88
Задание №4275
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 10, основание равно 12 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=48 Подствавим значения и найдём полупериметр P=16 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=48/16=3
Ответ: 3
Задание №1264
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 79, периметр P= 325 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=83,5 Ответ: 83,5
Задание №4554
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №5664
Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32 Ответ: 32
Задание №5046
Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 108. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=75 Ответ: 75
Задание №4618
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 103, большая боковая сторона равна 47 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,25 Ответ: 2,25
Задание №1563
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 22 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=56+12=68 Ответ: 68
Задание №3830
Площадь треугольника АВС равна 138. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=103,5 Ответ: 103,5
Задание №3255
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 53, AB= 66 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 238 Ответ: 238
Задание №4042
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=7 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+7=31 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 31
содержание .. 66 67 68 69 ..