ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 62

Задание №1099

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 40 и 16, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=16

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+32=144

Ответ: 144

Задание №2358

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 49, 66. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=19+49+66=134

Ответ: 134

Задание №3405

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 394, стророна AB= 97 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=100

Ответ: 100

Задание №2122

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 86, CD= 70 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 312

Ответ: 312

Задание №3582

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 480. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =480 / 6 = 80

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*80=160

Ответ: 160

Задание №1288

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 87, большая боковая сторона трапеции равна 40 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,75

Ответ: 1,75

Задание №3341

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 40, основание равно 48 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=768

Подствавим значения и найдём полупериметр P=64

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=768/64=12

Ответ: 12

Задание №3147

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 48° и 99°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 48 градусов равен 180-48=132 градусов

угол противоположный углу 99 градусов равен 180-99=81 градусов

Больший из неизвестных углов 132 градусов

Ответ: 132

Задание №4091

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 30 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=15

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+15=35

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 35

Задание №3434

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 56+28√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=28

Ответ: 28

Задание №5162

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 83. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 83 / 4 = 20,75

Ответ: 20,75

Задание №3063

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 130. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5

Ответ: 97,5

Задание №5740

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 43 и 34 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 77 / 2 = 38,5

Ответ: 38,5

Задание №1702

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 21, BC=5, CD=42. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=21+42-5=58

Ответ: 58

Задание №4390

В треугольнике ABC BC=160, AC=36, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=16

Ответ: 16

Задание №4601

Площадь треугольника АВС равна 137. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102,75

Ответ: 102,75

Задание №5444

Площадь параллелограмма ABCD равна 120. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=60

Ответ: 60

Задание №5053

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 90 и 30. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=50

Ответ: 50

Задание №2533

Площадь параллелограмма ABCD равна 110. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=27,5

Ответ: 27,5

Задание №5848

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

содержание .. 60 61 62 63 ..