содержание .. 59 60 61 62 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 61
Задание №4426
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 137°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов угол противоположный углу 137 градусов равен 180-137=43 градусов Больший из неизвестных углов 158 градусов Ответ: 158
Задание №4394
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 99, AB= 106 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 410 Ответ: 410
Задание №4746
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 444. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =444 / 6 = 74 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*74=148 Ответ: 148
Задание №4206
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=84+22=106 Ответ: 106
Задание №2504
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 46, 76. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=20+46+76=142 Ответ: 142
Задание №3427
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 60, периметр P= 258 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=69 Ответ: 69
Задание №1967
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 29 и 17. Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 46 / 2 = 23 Ответ: 23
Задание №2375
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 138. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,5 Ответ: 34,5
Задание №5402
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 142. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=71 Ответ: 71
Задание №5102
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 19, BC=6, CD=50. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=19+50-6=63 Ответ: 63
Задание №3861
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=15 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 39
Задание №4631
В треугольнике ABC AC=84, BC=135, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=30 Ответ: 30
Задание №4391
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96 Ответ: 96
Задание №1970
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 111, большая боковая сторона равна 49 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,25 Ответ: 3,25
Задание №2839
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 45, основание равно 54 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=972 Подствавим значения и найдём полупериметр P=72 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=972/72=13,5
Ответ: 13,5
Задание №4861
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 108. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 108 / 4 = 27 Ответ: 27
Задание №4282
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 40+20√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №2909
Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=30 Ответ: 30
Задание №5642
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №1211
Площадь треугольника АВС равна 138. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=103,5 Ответ: 103,5
содержание .. 59 60 61 62 ..