|
|
содержание .. 47 48 49 50 ..
Задание №3837
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 103, AB= 108 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 422 Ответ: 422
Задание №3016
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 120, основание равно 144 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6912 Подствавим значения и найдём полупериметр P=192 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=6912/192=36 Ответ: 36
Задание №2974
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 32° и 84°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов угол противоположный углу 84 градусов равен 180-84=96 градусов Больший из неизвестных углов 148 градусов Ответ: 148
Задание №5442 Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №3696 Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65,5 Ответ: 65,5
Задание №5112 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 142. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=106,5 Ответ: 106,5
Задание №5017 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25 Ответ: 98,25
Задание №3622
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 13, 37, 50. Рассчитайте периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =13+37+50=100 Ответ: 100
Задание №1396
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 101. Вычислите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 101 / 4 = 25,25 Ответ: 25,25
Задание №1895
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 56+28√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=28 Ответ: 28
Задание №2206
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 23 и 31 . Рассчитайте среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 54 / 2 = 27 Ответ: 27
Задание №4531
Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 24. Радиус описанной окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=9 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 21
Задание №5901
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 77, ее большая боковая сторона равна 28 . Найдите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 5,25 Ответ: 5,25
Задание №1576
В треугольнике ABC BC=35, AC=12, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=5 Ответ: 5
Задание №3002 Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5 Ответ: 32,5
Задание №3614
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 261, стророна AB= 64 . Найдите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=66,5 Ответ: 66,5
Задание №3563
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 498. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*83=166 Ответ: 166
Задание №1691
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 10, BC=2, CD=23. Найдите четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=10+23-2=31 Ответ: 31
Задание №2500
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=76+16=92 Ответ: 92
Задание №1360 Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 120. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=50 Ответ: 50
содержание .. 47 48 49 50 ..
|
|