ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 49

 

  Главная      Тесты по ЕГЭ     ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год)

 

поиск по сайту            

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  47  48  49  50   ..

 

 

ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 49

 

 

Задание №3837

 

 

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 103, AB= 108 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 422

Ответ: 422

 

 

Задание №3016

 

 

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 120, основание равно 144 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

 

 

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6912

Подствавим значения и найдём полупериметр P=192

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=6912/192=36

Ответ: 36

 

 

 

Задание №2974

 

 

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 32° и 84°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

 

Решение

 

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов

угол противоположный углу 84 градусов равен 180-84=96 градусов

Больший из неизвестных углов 148 градусов

Ответ: 148

 

 

Задание №5442

 

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

 

Решение

 

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

 

 

Задание №3696

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65,5

Ответ: 65,5

 

 

 

Задание №5112

 

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 142. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

 

Решение

 

 

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

 

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

 

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=106,5

Ответ: 106,5

 

 

 

Задание №5017

 

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25

Ответ: 98,25

 

 

 

Задание №3622

 

 

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 13, 37, 50. Рассчитайте периметр данного треугольника

 

Решение

 

 

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

 

=13+37+50=100

Ответ: 100

 

 

 

Задание №1396

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 101. Вычислите длину средней линии трапеции

 

Решение

 

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

 

Средняя линия MK = 101 / 4 = 25,25

Ответ: 25,25

 

 

Задание №1895

 

 

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 56+28√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=28

Ответ: 28

 

 

 

Задание №2206

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 23 и 31 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 54 / 2 = 27

Ответ: 27

 

 

Задание №4531

 

 

Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 24. Радиус описанной окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

 

Решение

 

Построим высоту KH через центр окружности O

 

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

 

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=12

HO=9

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 21

 

 

Задание №5901

 

 

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 77, ее большая боковая сторона равна 28 . Найдите радиус окружности

 

Решение

 

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

R = 5,25

Ответ: 5,25

 

 

Задание №1576

 

 

В треугольнике ABC BC=35, AC=12, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

 

 

 

Задание №3002

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5

Ответ: 32,5

 

 

 

Задание №3614

 

 

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 261, стророна AB= 64 . Найдите длину стороны CD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=66,5

Ответ: 66,5

 

 

Задание №3563

 

 

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 498. Рассчитайте диаметр описанной окружности

 

Решение

 

 

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*83=166

Ответ: 166

 

 

Задание №1691

 

 

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 10, BC=2, CD=23. Найдите четвертую сторону четырехугольника

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=10+23-2=31

Ответ: 31

 

 

 

Задание №2500

 

 

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

 

Решение

 

 

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=76+16=92

Ответ: 92

 

 

 

Задание №1360

 

Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 120. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

 

 

Решение

 

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

 

По найденной формуле вычисляем, что AD=50

Ответ: 50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  47  48  49  50   ..