содержание .. 45 46 47 48 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 47
Задание №1574
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 16, 39, 52. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=16+39+52=107 Ответ: 107
Задание №4604
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 48 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=20 Ответ: 20
Задание №3321
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 80. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 80 / 4 = 20 Ответ: 20
Задание №3377
Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=100,5 Ответ: 100,5
Задание №5714
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 18+9√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №1340
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №4906
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=104+22=126 Ответ: 126
Задание №4448
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 76, большая боковая сторона трапеции равна 34 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
Задание №4751
Площадь параллелограмма ABCD равна 127. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,75 Ответ: 31,75
Задание №3702
Площадь треугольника АВС равна 129. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96,75 Ответ: 96,75
Задание №3918
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 214, стророна AB= 52 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=55 Ответ: 55
Задание №2017
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 34 и 41. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 75 / 2 = 37,5 Ответ: 37,5
Задание №4874
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 40° и 90°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 40 градусов равен 180-40=140 градусов угол противоположный углу 90 градусов равен 180-90=90 градусов Больший из неизвестных углов 140 градусов Ответ: 140
Задание №3105
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 61, AB= 78 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 278 Ответ: 278
Задание №5879
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №4213
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 15, BC=4, CD=32. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=15+32-4=43 Ответ: 43
Задание №4995
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 142. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=71 Ответ: 71
Задание №2933
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 35, основание равно 42 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=588 Подствавим значения и найдём полупериметр P=56 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=588/56=10,5
Ответ: 10,5
Задание №4139
Дан треугольник ABC. Стороны AC=80, BC=84, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=24 Ответ: 24
Задание №4701
Периметр правильного шестиугольника равен 132. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =132 / 6 = 22 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*22=44 Ответ: 44
содержание .. 45 46 47 48 ..