|
|
содержание .. 43 44 45 46 ..
Задание №2523 Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75 Ответ: 32,75
Задание №2506
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 468. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =468 / 6 = 78 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*78=156 Ответ: 156
Задание №4455 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 140. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=105 Ответ: 105
Задание №2439 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №1295
Дан треугольник ABC. Стороны AC=40, BC=42, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=12 Ответ: 12
Задание №4205
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 44° и 91°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов Больший из неизвестных углов 136 градусов Ответ: 136
Задание №5678 Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=93,75 Ответ: 93,75
Задание №5526
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 118, большая боковая сторона трапеции равна 57 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 1 Ответ: 1
Задание №3723
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 45 и 34 . Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 79 / 2 = 39,5 Ответ: 39,5
Задание №3006
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 40+20√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №4639
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 35, основание равно 42 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=588 Подствавим значения и найдём полупериметр P=56 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=588/56=10,5 Ответ: 10,5
Задание №5310
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 273, стророна AB= 65 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=71,5 Ответ: 71,5
Задание №4325
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 12, 39, 42. Рассчитайте периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =12+39+42=93 Ответ: 93
Задание №5591 Площадь параллелограмма ABCD равна 127. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=63,5 Ответ: 63,5
Задание №1002
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 30, BC=7, CD=57. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=30+57-7=80 Ответ: 80
Задание №4158
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №1926
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 36 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=90+18=108 Ответ: 108
Задание №4634
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 51, CD= 36 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 174 Ответ: 174
Задание №1418
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 73. Вычислите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 73 / 4 = 18,25 Ответ: 18,25
Задание №3453 Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 162. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=90 Ответ: 90
содержание .. 43 44 45 46 ..
|
|