содержание .. 32 33 34 35 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 34
Задание №2613
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 96+48√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=48 Ответ: 48
Задание №5046
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 63, AB= 70 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 266 Ответ: 266
Задание №2585
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 220, стророна AB= 54 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=56 Ответ: 56
Задание №3187
Площадь параллелограмма ABCD равна 144. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36 Ответ: 36
Задание №5115
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 143. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=71,5 Ответ: 71,5
Задание №5097
В треугольнике ABC BC=48, AC=14, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №5297
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93 Ответ: 93
Задание №3117
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 16, 39, 64. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=16+39+64=119 Ответ: 119
Задание №1224
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 140, основание равно 168 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408 Подствавим значения и найдём полупериметр P=224 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42
Ответ: 42
Задание №2529
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №3657
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №1032
Основания равнобедренной трапеции равны 168 и 42. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=105 Ответ: 105
Задание №3804
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 29 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=72+14=86 Ответ: 86
Задание №3431
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 408. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =408 / 6 = 68 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*68=136 Ответ: 136
Задание №5754
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 74. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 74 / 4 = 18,5 Ответ: 18,5
Задание №4053
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 39° и 146°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 39 градусов равен 180-39=141 градусов угол противоположный углу 146 градусов равен 180-146=34 градусов Больший из неизвестных углов 141 градусов Ответ: 141
Задание №2137
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 24 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 41 / 2 = 20,5 Ответ: 20,5
Задание №4077
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 116, большая боковая сторона трапеции равна 52 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3 Ответ: 3
Задание №5600
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 21, BC=6, CD=44. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=21+44-6=59 Ответ: 59
Задание №5495
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 125. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=93,75 Ответ: 93,75
содержание .. 32 33 34 35 ..