содержание .. 30 31 32 33 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 32
Задание №2435
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 70, основание равно 84 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2352 Подствавим значения и найдём полупериметр P=112 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=2352/112=21
Ответ: 21
Задание №3426
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=30 Ответ: 30
Задание №2591
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №2212
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25° и 98°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 25 градусов равен 180-25=155 градусов угол противоположный углу 98 градусов равен 180-98=82 градусов Больший из неизвестных углов 155 градусов Ответ: 155
Задание №4273
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=78+16=94 Ответ: 94
Задание №5504
Дан треугольник ABC. Стороны AC=15, BC=36, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №4728
Периметр правильного шестиугольника равен 462. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =462 / 6 = 77 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*77=154 Ответ: 154
Задание №2172
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №1667
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 90, AB= 94 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 368 Ответ: 368
Задание №1560
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 15, BC=5, CD=35. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=15+35-5=45 Ответ: 45
Задание №1901
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 42+21√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=21 Ответ: 21
Задание №3809
Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96,75 Ответ: 96,75
Задание №2864
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 47, 65. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=17+47+65=129 Ответ: 129
Задание №2754
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 54 и 46 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 100 / 2 = 50 Ответ: 50
Задание №1234
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 105. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 105 / 4 = 26,25 Ответ: 26,25
Задание №4333
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 132. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99 Ответ: 99
Задание №4263
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 130. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5 Ответ: 32,5
Задание №2186
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 225, стророна AB= 55 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=57,5 Ответ: 57,5
Задание №5741
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 156. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=78 Ответ: 78
Задание №1147
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 113, большая боковая сторона равна 49 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,75 Ответ: 3,75
содержание .. 30 31 32 33 ..