содержание .. 29 30 31 32 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 31
Задание №1110
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 174. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =174 / 6 = 29 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*29=58 Ответ: 58
Задание №1885
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 53. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 53 / 4 = 13,25 Ответ: 13,25
Задание №4346
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 24 и 16 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 40 / 2 = 20 Ответ: 20
Задание №2401
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 44° и 133°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов угол противоположный углу 133 градусов равен 180-133=47 градусов Больший из неизвестных углов 136 градусов Ответ: 136
Задание №1620
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 112, ее большая боковая сторона равна 52 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
Задание №3269
Площадь треугольника АВС равна 135. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=101,25 Ответ: 101,25
Задание №2710
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 62, 75. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+62+75=160 Ответ: 160
Задание №3245
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 58, периметр P= 245 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=64,5 Ответ: 64,5
Задание №1178
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 119, CD= 107 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 452 Ответ: 452
Задание №2285
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 41, BC=11, CD=86. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=41+86-11=116 Ответ: 116
Задание №4038
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №5416
Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25 Ответ: 31,25
Задание №4189
Дан треугольник ABC. Стороны AC=16, BC=30, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №1570
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 75, основание равно 90 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2700 Подствавим значения и найдём полупериметр P=120 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=2700/120=22,5
Ответ: 22,5
Задание №3376
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №5311
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 43 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=104+18=122 Ответ: 122
Задание №4670
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 141. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105,75 Ответ: 105,75
Задание №5157
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 14+7√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=7 Ответ: 7
Задание №4014
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 144. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80
Задание №3014
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5 Ответ: 68,5
содержание .. 29 30 31 32 ..