содержание .. 22 23 24 25 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 24
Задание №2252
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 41° и 105°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов угол противоположный углу 105 градусов равен 180-105=75 градусов Больший из неизвестных углов 139 градусов Ответ: 139
Задание №5796
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 37 и 49. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 86 / 2 = 43 Ответ: 43
Задание №5856
Дан треугольник ABC. Стороны AC=28, BC=45, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=10 Ответ: 10
Задание №2745
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №2055
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 20+10√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=10 Ответ: 10
Задание №1580
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 67, AB= 76 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 286 Ответ: 286
Задание №2477
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 318. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =318 / 6 = 53 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*53=106 Ответ: 106
Задание №5573
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 86, периметр P= 356 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=92 Ответ: 92
Задание №4004
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 50. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 50 / 4 = 12,5 Ответ: 12,5
Задание №4820
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 8, BC=2, CD=20. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=8+20-2=26 Ответ: 26
Задание №2623
Площадь треугольника АВС равна 142. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=106,5 Ответ: 106,5
Задание №1706
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 26 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=5 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=62+10=72 Ответ: 72
Задание №5821
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 97, ее большая боковая сторона равна 39 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 4,75 Ответ: 4,75
Задание №4217
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 144 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80
Задание №4844
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 129. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,25 Ответ: 32,25
Задание №5517
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 16, 41, 58. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=16+41+58=115 Ответ: 115
Задание №1291
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №4889
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64 Ответ: 64
Задание №1033
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 121. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=90,75 Ответ: 90,75
Задание №3122
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 55, основание равно 66 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452 Подствавим значения и найдём полупериметр P=88 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5
Ответ: 16,5
содержание .. 22 23 24 25 ..