|
|
содержание .. 20 21 22 23 ..
Задание №4124
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 46+23√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=23 Ответ: 23
Задание №4724 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 150. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75 Ответ: 75
Задание №4880
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 22, BC=7, CD=50. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=22+50-7=65 Ответ: 65
Задание №2406
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 115, большая боковая сторона трапеции равна 54 . Найдите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №2548
В треугольнике ABC AC=21, BC=72, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №4850
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 110, основание равно 132 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5808 Подствавим значения и найдём полупериметр P=176 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=5808/176=33 Ответ: 33
Задание №2040
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 54, 73. Вычислите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =21+54+73=148 Ответ: 148
Задание №2331
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 109. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 109 / 4 = 27,25 Ответ: 27,25
Задание №1894 Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102 Ответ: 102
Задание №5206 Площадь треугольника АВС равна 140. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=105 Ответ: 105
Задание №3106
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 42. Радиус описанной окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции Решение Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №2828
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 27 и 18 . Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 45 / 2 = 22,5 Ответ: 22,5
Задание №3092
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 202, стророна AB= 47 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=54 Ответ: 54
Задание №4770
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 39 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=106+28=134 Ответ: 134
Задание №1261 Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 24 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=10 Ответ: 10
Задание №3500
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 21° и 99°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 21 градусов равен 180-21=159 градусов угол противоположный углу 99 градусов равен 180-99=81 градусов Больший из неизвестных углов 159 градусов Ответ: 159
Задание №4573 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 149. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=37,25 Ответ: 37,25
Задание №3641
Периметр правильного шестиугольника равен 390. Найдите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =390 / 6 = 65 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*65=130 Ответ: 130
Задание №4321
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 76, AB= 83 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 318 Ответ: 318
Задание №4108 Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
содержание .. 20 21 22 23 ..
|
|