содержание .. 18 19 20 21 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 20
Задание №2340
В треугольнике ABC BC=180, AC=112, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=40 Ответ: 40
Задание №3129
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 79, CD= 63 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 284 Ответ: 284
Задание №4449
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 41 и 32. Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 73 / 2 = 36,5 Ответ: 36,5
Задание №2303
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=16 HO=12 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 28
Задание №3455
Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=67 Ответ: 67
Задание №5474
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 43, 61. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=17+43+61=121 Ответ: 121
Задание №2117
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 90, основание равно 108 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3888 Подствавим значения и найдём полупериметр P=144 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=3888/144=27
Ответ: 27
Задание №2485
Площадь треугольника АВС равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5 Ответ: 100,5
Задание №3367
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 78. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 78 / 4 = 19,5 Ответ: 19,5
Задание №3097
Периметр правильного шестиугольника равен 510. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =510 / 6 = 85 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*85=170 Ответ: 170
Задание №4937
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=10 Ответ: 10
Задание №1482
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 34, BC=11, CD=78. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=34+78-11=101 Ответ: 101
Задание №3456
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 96+48√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=48 Ответ: 48
Задание №1956
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 45 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=118+28=146 Ответ: 146
Задание №2893
Площадь параллелограмма ABCD равна 120. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=90 Ответ: 90
Задание №4275
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №1975
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 48° и 129°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 48 градусов равен 180-48=132 градусов угол противоположный углу 129 градусов равен 180-129=51 градусов Больший из неизвестных углов 132 градусов Ответ: 132
Задание №1547
Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31 Ответ: 31
Задание №2675
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 265, стророна AB= 64 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=68,5 Ответ: 68,5
Задание №1522
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 134, большая боковая сторона равна 65 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1 Ответ: 1
содержание .. 18 19 20 21 ..