ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 19

Задание №4159

Основания равнобедренной трапеции равны 120 и 30. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=75

Ответ: 75

Задание №3056

Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=107,25

Ответ: 107,25

Задание №1807

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №2298

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 25° и 91°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 25 градусов равен 180-25=155 градусов

угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов

Больший из неизвестных углов 155 градусов

Ответ: 155

Задание №3411

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 69, CD= 52 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 242

Ответ: 242

Задание №1545

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 125, стророна AB= 28 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=34,5

Ответ: 34,5

Задание №2169

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 52+26√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=26

Ответ: 26

Задание №1996

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65

Ответ: 65

Задание №3274

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 52, 67. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=19+52+67=138

Ответ: 138

Задание №4877

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=7

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 27

Задание №5523

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93

Ответ: 93

Задание №2610

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 103, большая боковая сторона трапеции равна 49 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №5257

Дан треугольник ABC. Стороны AC=8, BC=15, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №4073

Площадь параллелограмма ABCD равна 135. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,75

Ответ: 33,75

Задание №4156

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 24 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 41 / 2 = 20,5

Ответ: 20,5

Задание №2136

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 70, основание равно 84 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2352

Подствавим значения и найдём полупериметр P=112

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2352/112=21

Ответ: 21

Задание №3592

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 16, BC=5, CD=38. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=16+38-5=49

Ответ: 49

Задание №4436

Периметр правильного шестиугольника равен 330. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =330 / 6 = 55

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*55=110

Ответ: 110

Задание №2100

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 29 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=4

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=66+8=74

Ответ: 74

Задание №3649

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 68. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 68 / 4 = 17

Ответ: 17

содержание .. 17 18 19 20 ..