содержание .. 5 6 7 8 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 7
Задание №5763
Площадь параллелограмма ABCD равна 154. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=77 Ответ: 77
Задание №5833
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 102. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 102 / 4 = 25,5 Ответ: 25,5
Задание №5370
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 13, BC=4, CD=31. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=13+31-4=40 Ответ: 40
Задание №5850
Площадь треугольника АВС равна 133. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75 Ответ: 99,75
Задание №3381
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 32° и 125°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов угол противоположный углу 125 градусов равен 180-125=55 градусов Больший из неизвестных углов 148 градусов Ответ: 148
Задание №4535
В треугольнике ABC BC=8, AC=6, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=2 Ответ: 2
Задание №2022
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №2014
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 60, периметр P= 251 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=65,5 Ответ: 65,5
Задание №5490
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 50, CD= 35 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 170 Ответ: 170
Задание №1123
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 132. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99 Ответ: 99
Задание №5325
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 49, 63. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=18+49+63=130 Ответ: 130
Задание №1415
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 78, большая боковая сторона трапеции равна 35 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
Задание №3512
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 42 и 18, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=18 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=120+36=156 Ответ: 156
Задание №4280
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 78+39√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=39 Ответ: 39
Задание №2538
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 144. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80
Задание №2435
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 30. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=8 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 23
Задание №5425
Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35 Ответ: 35
Задание №4238
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 25, основание равно 30 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=300 Подствавим значения и найдём полупериметр P=40 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=300/40=7,5
Ответ: 7,5
Задание №2939
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 18 и 13 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 31 / 2 = 15,5 Ответ: 15,5
Задание №5782
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 432. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =432 / 6 = 72 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*72=144 Ответ: 144
содержание .. 5 6 7 8 ..