содержание .. 3 4 5 6 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 5
Задание №1490
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=30 Ответ: 30
Задание №3494
Дан треугольник ABC. Стороны AC=20, BC=21, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №2729
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 126, стророна AB= 29 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=34 Ответ: 34
Задание №3512
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 492. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =492 / 6 = 82 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*82=164 Ответ: 164
Задание №4035
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 135, основание равно 162 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8748 Подствавим значения и найдём полупериметр P=216 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=8748/216=40,5
Ответ: 40,5
Задание №4385
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 81, CD= 67 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 296 Ответ: 296
Задание №5247
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 54+27√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=27 Ответ: 27
Задание №1835
Площадь параллелограмма ABCD равна 135. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,75 Ответ: 33,75
Задание №5597
Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25 Ответ: 98,25
Задание №2891
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 33 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=78+12=90 Ответ: 90
Задание №3680
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 52. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 52 / 4 = 13 Ответ: 13
Задание №4356
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 116, большая боковая сторона равна 52 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3 Ответ: 3
Задание №4862
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65,5 Ответ: 65,5
Задание №1801
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 48° и 100°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 48 градусов равен 180-48=132 градусов угол противоположный углу 100 градусов равен 180-100=80 градусов Больший из неизвестных углов 132 градусов Ответ: 132
Задание №3317
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 25 и 18 . Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 43 / 2 = 21,5 Ответ: 21,5
Задание №3851
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=15 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 39
Задание №2675
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 60, 77. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=22+60+77=159 Ответ: 159
Задание №2019
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 37, BC=11, CD=82. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=37+82-11=108 Ответ: 108
Задание №4436
Площадь треугольника АВС равна 147. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=110,25 Ответ: 110,25
Задание №2661
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
содержание .. 3 4 5 6 ..